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空間平面方程的三種形式

生活更新时间:2024-12-04 12:24:32

既然扯開了向量，扯開了坐标系，不繼續深挖有點過不了自己的關。

從平面直角坐标系類比過來，取空間一點O建立空間直角坐标系，在空間直角坐标系中，一個曲線或者曲面顯然也可以象平面直角坐标系那樣，用方程或者方程組來表示。我們将分幾期來介紹幾個常見的幾何體。今天先說說最簡單的——平面。

空間平面方程的三種形式（平面的方程）1

很容易理解的一個結論，不過似乎不太容易記。我們可以這樣改造一下。

令

空間平面方程的三種形式（平面的方程）2

則平面方程可以寫成

空間平面方程的三種形式（平面的方程）3

這就是平面的一般方程。前面的方程也可以稱為點法式方程。

舉個例子。

如果平面過三點

空間平面方程的三種形式（平面的方程）4

，求平面ABC的方程

解：設平面方程為

空間平面方程的三種形式（平面的方程）5

則

空間平面方程的三種形式（平面的方程）6

平面的方程為

空間平面方程的三種形式（平面的方程）7

其中，a,b,c是平面在三個坐标軸上的截距。

哇塞，這個方程似乎很好記，很優美漂亮。我們也給它一個名字，叫做截距式。（因為這個方程和直線的截距式長得太像了，對吧）

數學不做題，猶如遊泳不下水。還是來幾個題玩一下。

例1、求過點

空間平面方程的三種形式（平面的方程）8

的平面方程。

解：設平面方程為

空間平面方程的三種形式（平面的方程）9

則

空間平面方程的三種形式（平面的方程）10

從方程可以直接看出，平面的法向量為(14,9,-1)

例2、已知平面過原點及點(6,-3,2)，且與平面4x-y 2z=8垂直。求平面的方程

空間平面方程的三種形式（平面的方程）11

顯然，對于兩個平面

空間平面方程的三種形式（平面的方程）12

則

空間平面方程的三種形式（平面的方程）13

讓我們繼續大膽猜一猜。

空間平面方程的三種形式（平面的方程）14

空間平面方程的三種形式（平面的方程）15

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