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高中數學解三角形面積公式名稱

教育更新时间:2025-01-23 14:01:57

昨天在球體的内接圓錐體的評論中，有評論提問了關于圓的内接三角形的問題。

圓的最大内接三角形的求解，除了用到正弦定理的變形以及圓的幾何性質，還用到了均值不等式的變形、凸函數的概念等。

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）1

圓的内接三角形

首先将三角形ABC的面積表示出來：

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）2

這裡用到了正弦定理的變形。

如下圖，做輔助線。

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）3

做如圖輔助線

在三角形OBP中，可得：

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）4

同理可得：

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）5

三角形ABC的面積可化簡為

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）6

這一步用到了均值不等式的變形。

又因為正弦函數為定義域R上的凸函數，可得：

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）7

所以

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）8

當且僅當A=B=C時不等式取等号。

即

高中數學解三角形面積公式名稱（高中數學證明圓的内接三角形中）9

如此，可以證明，圓的内接三角形中，正三角形的面積最大。

如需要進一步求出該三角形的邊長或者高，也是很簡單的啦。

看似很簡單的一道證明題，實際上卻用到了高中數學的諸多知識點；在實際的解題中，如果是選擇或者填空題，我們就可以直接運用這個結論啦！

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