本文作者：宋亞男 貞元教育小學數學卓越課程研發負責人

兒童較早地就接觸“角”的概念，但是直到四年級，兒童的“角”的觀念仍然是混沌的、模糊不清的。如，兒童已經知道“從一個點出發引出兩條直直的線所構成的圖形”叫作角，但是，一旦回到實際生活，“角”又會退化成為類似牆角、桌子角、老黃牛頭上尖尖的角、三角闆的一個角等一樣的東西。

而有關銳角、直角和鈍角的區别，四年級的兒童也幾乎是基于視覺加以判斷的。當他們說某個角是直角時，要麼是目測的結果，要麼僅僅是因為這個角就是某個正方形或長方形的一部分；直角并沒有從實際背景中真正獨立出來，它并不意味着一個角的兩條邊之間具有特殊的位置關系（垂直）。零度角、平角和周角，看上去都差不多，到底該如何清晰而準确地加以區分呢？

如何選擇一個合适的基準去度量一個角的大小呢？雖然，角的兩條邊是射線，是不可以度量長短的，但正是因為這一特點，角反而可以精确地度量大小了，通過旋轉變換可以更加清楚地明晰角的這一特征。兒童在此之前雖然已經學習了一維的長度和周長度量，以及二維的面積度量，但是看上去，這些度量方法卻不能解決度量角的問題。

面臨如此多的認知沖突，我們将如何結合兒童的認知發展特點，化解它們呢？其基本程序就是：浪漫——精确——綜合……這是一個無限展開的認知循環。方、圓、角屬于“角的度量”的浪漫階段；角的動态定義、使用量角器度量已知角的大小、使用量角器畫出已知角等屬于“角的度量”的精确階段；最後，綜合實踐活動與單元腦圖制作和闖關挑戰等都屬于“角的度量”的綜合階段。接下來主要分享的是精确階段的三個課時，看貞元教育是怎樣做的。

角的動态定義

第一闆塊：自我挑戰，遭遇問題

展示“課前挑戰單”：

1.分别畫出平角、零度角和周角，并列舉它們的異同點。

2.從中午12點到下午3點，時針旋轉而成的角是多少度？這裡“時針旋轉而成的角”與3點整時針和分針所組成的角有何相同點和不同點？

3.給出各式各樣的角，請兒童進行分類。（其中給出兩個有争議的角：一個比直角稍微大一點，另一個比直角稍微小一點）

4.請提出你感興趣的新問題。

分析：

第1題，有少數學生依然認為平角就是一條直線，零度角就是一條射線，周角就是一個圓。部分學生清楚零度角與周角其實就是兩條邊重合在了一起，但無法清楚地說明兩個角有什麼區别。課堂将基于此展開對話，達成臨時性共識：從靜态的角度看，零度角與周角的兩條邊都是重合的。但是，如果從動态旋轉的角度看，零度角是沒有旋轉的，而周角卻整整旋轉了一周，進而引入動态角的定義；

第3題，出現了近似于直角的“有争議的角”，僅僅靠視覺無法判斷是否是直角，說明這樣質性的對角進行分類是不夠的，必須對角進行定量化測量。對于如何測量角的度數，學生們主要提出了以下三個觀點：

（1）根據垂線段的長度表示角度的大小；

（2）規定一個角為測量基準，通過旋轉變換來測量角度；

（3）統一測量基準，将一個圓周角平均分成360份，其中的一份為1度。

第二闆塊：聚焦問題，展開對話

師：這位同學是怎麼想的？你認同嗎？

學生語：我不認同，他認為平角就是一條直線。

學生舒：這就是平角呀，但他應該畫一個弧度。（在大屏幕上進行了修改）

學生涵：我反對，一個角是由一個頂點、兩條邊組成的，這個平角的頂點呢？

學生澤：從一個點引出兩條射線所組成的圖形叫做角，應該這樣修改。

學生瀚：我不認同澤的觀點，我上台來演示一下吧。如果把這條邊作為起始邊，繞着這個頂點開始旋轉，順時針旋轉一圈半停止，角的終邊也落在了這個角的另一邊上，難道這也是平角嗎？

學生千：所以我們需要畫出平角邊的運動軌迹，表明它隻是旋轉了半圈。

師：平角是怎樣形成的？

學生瀚：起始邊繞着端點逆時針或順時針方向旋轉半圈所形成的角。（邊說邊用手中的筆比劃）

師：平角有什麼特點？

學生寒：平角的兩條邊在一條直線上。

師：你認同這位學生畫的零度角嗎？

學生語：它就是一條射線，怎麼是零度角？

學生千：它就是零度角，因為它的兩條射線重合在一起了。

師：從靜态理解，零度角就是兩條射線重合在一起了，還有其它的理解嗎？

學生含：零度角就是一條起始邊還沒旋轉就停止了，也就是起始邊與終邊重合了。

師：有位同學說，零度角為什麼是角呢？誰能幫他解答疑問。

學生潤反問道：從靜态上看它符合角的特征嗎？

學生千：符合，它也有一個頂點，兩條邊，不過兩條邊重合在一起了。

學生潤：對呀，既然符合角的特征，那零度角就是角呀。

（學生動态演示，再次體會平角與零度角，感知靜态角與動态角，修改挑戰單）

師：你們認同這三位學生畫的周角嗎？

學生澤：周角是一條射線繞着它的端點旋轉一圈形成的角，但是他怎麼畫了一個圓形？

學生普：他認為周角就是個圓圈，圓圈不是角，因為它沒有射線。

學生涵：其實他畫的是一條射線旋轉一周後的運動軌迹。

（伴随老師動作演示，學生逐漸明白：周角是從起始邊繞着端點旋轉一圈又回到原來的位置）

師：你認同他的觀點嗎？

學生舒：不認同，他沒有标注旋轉角度，根本分不清周角和零度角。（學生旭上台修改）

師：有人提出了這樣的新問題：周角與零度角一樣嗎？

學生星：周角不是零度角，它們雖然都是角，但大小不同，周角是360°，零度角是0°

學生澤：不一樣，周角是一條射線旋轉了一圈，而零度角沒有旋轉就停止了。

師：這個是千同學的觀點：周角和零度角的兩條射線重合在一起。你們認同嗎？

學生語：認同，周角和零度角的兩條射線都重合在一起了。

師：這是瀚同學的問題，有同學幫他解答嗎？

學生翔：圖中畫的當然是鈍角。

學生千：不對，他想表達的是，這條射線繞着端點順時針旋轉形成的角，這個角不是鈍角，如果是逆時針旋轉形成的角才是鈍角。

學生羽：對，明顯這個角的度數是大于180°的，而鈍角是大于90°小于180°。

學生涵：它不是鈍角，是優角。

師：對的，我們把大于180°小于360°的角稱為優角，不過暫時我們先不研究這類角。

師：言同學昨天問我有沒有比周角還大的角，誰來幫我回答？

學生睿：這是銳角嗎？（上台演示，畫了個動态角并問道）

學生星：不是。它是旋轉一圈後繼續旋轉了一點點形成的角。

學生瀚：我也可以舉好多比周角大的角，比如，一條射線繞着它的端點旋轉兩圈，三圈……後停止，形成的角就比周角大。

（老師對涵、言、瀚三位同學提出的新問題，給予了極大地肯定，并鼓勵更多的學生提出有價值的新問題，這些問題可以讓我們的課堂變得更加好玩有趣）

師：時針從12點旋轉到3點形成的角是什麼角？

生：直角。

師：3點時，時針與分針構成了什麼角？

生：也構成了直角。

師：這兩個角有什麼相同之處？

生：都是直角，大小是90°。

師：有什麼不同之處？

學生澤：12點到3點是時針動态旋轉形成的直角。而3點，時針與分針所形成的角是靜态的兩條射線所組成的直角。

（給出各式各樣的角，請學生進行分類，其中出現了幾個有争議的角：有比直角稍微大一點的角，有比直角稍微小一點的角。如何來确定他們的大小呢？孩子們遇到了角的度量問題。此時，有人認為可以用三角闆的直角比一比或用量角器量一量，還有人提出了新的看法）

師：怎樣來度量角的大小呢？你認同這位同學的想法嗎？

學生澤：我不認同，用直尺測量角的開口大小時，直尺放的位置不一樣，測的結果就不一樣了。

學生言：對的，比如直尺往裡偏一些時，測的那條線段就短，越往外測的線段就越長。

學生普：我反對你們的看法，我們可以選定一個點，然後向另一條邊做垂線。

學生瀚：也就是說，測量所有角都從相同的點開始向下做垂線。這個點可以是離頂點1厘米的位置，當然也可以是2厘米的位置，但每次測量時必須是一樣。

師：你認同用這種方法來度量角嗎？比方說這條垂線段長度是2厘米，角的大小就是2。

（大部分學生表示認同，但也有學生表示懷疑）

師：用線段的長度來表示角的度數好不好？

學生星：好像也不合理，線是一維的，但角不是呀，它們的單位肯定不一樣呀。

學生語：平角就無法用這種方法測量，沒法做垂線段。

（其他同學恍然大悟，測量銳角的話，可以用長度來刻畫誰大誰小，但是用一維的長度表示角的大小總覺得不合理。同時鈍角、周角、平角、優角都沒辦法用長度來測量）

第三闆塊：基于共識，拓展延伸

師：看羽同學是如何想的？

學生程：他把這個小一點的角作為測量基準進行測量的，看有幾個這樣的基準，就是幾度。

學生瀚：哦，我明白了，先定一個角為基準，然後看被測量的角有幾個這樣的基準就可以了。

學生言：假如以直角為測量基準的話，直角就是1，平角就是2，周角就是4。

學生澤：如果以平角為測量基準的話，周角是2。

（學生們分别以直角、平角，任意角為基準，進行測量）

學生千：測量基準不同的時候，角的度數就不一樣了。

學生語：那就統一測量基準。

師：那我們統一用哪個角為測量基準呢？

（瀚同學與大家分享了關于“神奇的360°”的故事：古代天文學家估計出一年大概有360天，周角是旋轉一周所形成的角，就與地球繞着太陽旋轉一圈是一年一模一樣。所以就把圓周角命名為360°。将圓周角平均分成360份，每份就是1°，我們可以拿這個1°角去測量其它的角）

學生舒：但是拿一個1°角去測量會不會太麻煩了？我需要不斷地做标記。

學生潤：我們可以把180個1°角都刻下來，放在一起，就變成了我們手中的量角器。

學生涵：把360個1°角放在一起，就變成了一個圓形的量角器。

學生旭：為什麼我們手中的量角器隻是一個半圓形，而不用一個圓形呢？

學生星：那樣太麻煩了，後面就多餘了，做成半圓形更節省材料。

師：如果是為了節省材料，我們為什麼不把量角器做成直角呢？

學生普：如果把量角器做成直角，那麼它隻能測量銳角和直角，鈍角就沒辦法測量了。

學生涵：我不認同，鈍角也可以測量，我們可以把這個鈍角分成一個直角和一個銳角，隻測量銳角的度數，再加90°就可以了。

生：哦，對，這樣也可以，但是會有點麻煩。

師：請問，把量角器做成半圓形可以嗎？

（所有學生拿出了自己的量角器開始觀察，銳角和鈍角都可以測出來。平角、周角和零度角也可以。這個時候寒同學認為優角無法測量）

學生語：優角也可以被測量出來，比如這個優角，可以把這個優角的一邊延長，隻要測量出右上這個銳角的度數，再加上180°就可以了。

學生涵：我們隻測這個鈍角，然後用360°減去這個鈍角度數也可以。

師：看來我們可以把優角的度量問題轉化成銳角或鈍角的度量，所以我們手中的量角器能滿足嗎？

生：完全可以滿足。

（接下來請同學們仔細觀察了手中的量角器，更精确地認識了量角器的0刻度線，中心點，刻度……）

使用量角器度量給定角的大小

第一闆塊：自我挑戰，遭遇問題

展示“課前挑戰單”：

1.請使用量角器度量以下角的度數，并在完成度量任務之後思考：使用量角器的注意事項有哪些？

2.請提出你感興趣的新問題。

分析：上節課分别從靜态和動态兩個方面認識了角，這節課将聚焦用量角器度量角。從這張挑戰單中可以看出，大部分學生可以意識到先規定一條起始邊，然後讓起始邊與0°刻度線重合，最後看終邊對準的刻度即可，但幾位學生認為角的頂點應該與0°刻度線的數字“0”對準，如：

部分學生在讀數的時候，不知道該讀内圈的度數，還是外圈的度數，如：

第二闆塊：聚焦問題，展開對話

師：你是否認同這位同學的想法：

先把這個角的起始邊對準0刻度線，然後看終邊對準幾就是幾度。

學生程：我認同他的觀點，我們要想測量一個角的度數，首先要把這個角的一條邊對準0°刻度線，然後看角的另一條邊對準哪個刻度便可。

學生甯：量角器上有兩圈刻度呢，到底看哪一個刻度？

（老師請一位昨天挑戰單出錯的學生示範如何測量）

學生程：我不認同，角的頂點要與量角器的“中心點”對齊。

（澤認同程的觀點，并跑到大屏幕前演示）

生：對的，角的頂點要與量角器的中心點對齊。

師：頂點為什麼要放到量角器的中心點呢？

學生潤：昨天我們這樣制作量角器：先定了一個1°的角為基準，為了方便測量，就把180個1°角拼在了一起。拼的時候，所有角的頂點都在這個中心點上，測量的時候，角的頂點必須要與量角器的中心點重合。

學生星：我們手中的量角器是由兩個直角合起來的，兩個直角的頂點重合在一起，就是量角器的中心點。

學生瀚：0°刻度表示的是0°，也就是角的始邊與終邊對準的位置，而不是頂點應該對準的位置。

學生涵：對的，量角器上的度數是角的開口大小，怎能把角的頂點放到刻度上呢？

師：誰能從動态的角度解釋，量角器上的0°刻度線是什麼意思？

學生茜：角的起始邊。

（老師闆演，一條射線繞着其端點不斷旋轉，由0°到180°，讓學生感受0°刻度線其實就是始邊的位置，終邊對準的刻度即角的度數。而在這個過程中，角的頂點是不動的，就像量角器的中心點）

師：你認同這位同學的觀點嗎？

中點對準頂點，看看量角器的線條和它的射線如何對準，比如說，第一個角對準了30度和40度之間，所以就是35度。

學生含：我認同他的觀點，他強調了角的頂點必須對準量角器的中心點。

學生瀚：還需要說明一點，始邊必須對準0°刻度線。

學生寒：不對，始邊并非一定要對準0°刻度線，如下圖這樣也可以測量出這個角的度數。假如我們需要測量∠AOB的度數，可以先讀出∠AOC的度數是70°，∠BOC的度數是35°，那麼∠AOB=∠AOC -∠BOC =70°-35°=35°。

學生千：我還有新的方法，以35°刻度的那條邊為始邊，逆時針旋轉：5°、10°、15°……35°，讀取始邊與終邊之間的夾角就可以了。

學生語：但我還是認為需要将起始邊對準0°刻度線，這樣直接看終邊對準的刻度就可以了。

師：語說得很有道理，為快速讀取角的讀數，我們确實需要将角的起始邊對準0°刻度線。下面這位同學的說法你認同嗎？

中心點與角的頂點重合，始邊與0刻度線重合，看終邊對準幾就是幾度。

學生羽：不認同，到底是看外圈還是内圈的度數呀？比如，這個角的終邊對準了35°和145°，這個角到底是多少度呢？

學生含：應該是35°，我們應該看内圈的刻度。

師：為什麼要看内圈的度數？

學生澤：因為起始邊與右邊的0°刻度線重合，終邊沿着逆時針方向旋轉，角的度數應該逐漸增加而不是減小，所以要看内圈的刻度。

師：你認同這位同學的測量結果嗎？

學生普：我不認同，第一個角是銳角，它應該小于90°。而第二個角是鈍角，它應該大于90°。

學生程：他肯定是看錯内圈和外圈的刻度了。

師：再分享一位學生的觀點，你認同嗎？

先看這個角是哪一邊開口，右邊開口從内圈量，左邊開口從外圈量，然後開始測量開口度數大小。

學生涵：我明白他為什麼這樣想，因為當角的開口朝向右邊的時候，他把下面的邊作為起始邊，所以讀數的時候需要看内圈的刻度。

當角的開口朝向左邊的時候，他把下面的邊作為起始邊，所以讀數的時候需要看外圈的刻度。

學生瀚：我不認同這樣的想法，比如，當開口朝向右邊的時候，我們不僅可以把角的下面的邊作為起始邊，也可以将角的上面的邊作為起始邊，那樣就需要看外圈的刻度。

師：看來決定讀内圈還是外圈度數的關鍵點是起始邊的選擇。

（在老師的引導下，學生開始用不同的邊作為起始邊測量角的度數）

第三闆塊：基于共識，拓展延伸

師：這位同學說：角的度數能不能用算式算出來？他想問的是什麼呢？

學生千：我們可以用量角器測量角的度數，那角的度數可以計算出來嗎？

學生羽：可以，在一個直角三角形中，隻要知道一個角的度數，就可以求出來另一個角的度數。例如在直角三角形中，一個銳角是40°，另一個角就是180°-90°-40°=50°。

師：你們已經已經能夠利用三角形的内角和是180°來解決問題，太厲害了。那麼下面這道題在不測量的情況下，能得出這個角的度數嗎？

學生涵：可以，因為3點整的時候是90°，把90°平均分成3份，其中的一份就是30°。

（接下來，針對下面兩道題進行了練習，課堂對話略）

使用量角器畫已知角

第一闆塊：自我挑戰，遭遇問題

展示“課前挑戰單”：

1.請量出下面幾個角的度數。

2.請你分别畫出30°、45°、60°、75°、105°、165°的角，并用文字語言簡單說明如何畫角？

3.利用常見的三角闆，在不使用量角器的情況下，可以畫出哪些度數的角？

4.請提出你感興趣的新問題。

分析：從學生的課前挑戰單中可以看出，學生們的角觀念建構得很好，幾乎所有的學生都能用自己的方法畫出規定度數的角。因此，本節課将由學生當小老師，講解如何畫角。講完後，其他同學點評，認同說明原因，不認同也說明理由。通過這樣的課堂對話，最終達成臨時性共識。

第二闆塊：聚焦問題，展開對話

（以下是幾位同學講述如何畫30°角的過程對話記錄）

學生寒：首先把量角器放平，在0°和30°的地方各點一個點，然後連接成角就可以了。

（寒同學的觀點立刻遭到了質疑，過這兩個點可以畫好多角，怎麼确定這個角就是30°呢？）

寒同學立刻修正了自己的觀點：哦，不好意思，我剛剛可能沒有描述清楚，我的意思是在0°與30°的地方，分别用直尺畫兩條刻度線的延長線，最後交于一點就形成一個30°的角。

這時，涵同學激動地說：對的，這樣就可以了，這個角就唯一确定了。

（學生涵跑到講台前給大家演示）

師：為什麼剛剛隻有兩個點的時候就不能确定唯一的那個角呢？

學生潤：因為過一個點可以畫出好多好多的射線，到底哪條射線是30°角的邊呢？

師：這個解釋太棒了，确實如此。哦，對了，寒同學改進後的方案可行嗎？

學生星：可行，因為這樣就把角的兩條邊的位置确定了。

生：但是這樣畫角太麻煩了，而且不精準。

師：不精準是什麼意思？

學生旭：水平的那條直線容易畫，但斜着的那條直線就不容易了。

學生寒反駁道：你可以同時用三角尺畫呀。

學生澤：既要用量角器，還要用三角尺，畫的時候，特别容易移動。

學生言：我有一種新的方法，不過最好是一個透明的量角器，先把角的頂點畫出來，然後把角的頂點與量角器的中心點重合，在量角器的0°與30°刻度線的地方分别畫一個點，然後把這三個點連接起來。

學生普：我反對，角的兩條邊是射線，你這樣就變成兩條線段了。

學生涵：我反對普同學的觀念，不是你想的那樣，那個點不是線段的端點，這個點隻是為了确定射線的位置而已。

學生星：這種方法與剛剛寒同學的方法好像呀。

師：對呀，為什麼剛剛隻有兩個點（刻度線上的點）時就不可以，增加一個中心點就可以了？

學生羽：因為中心點和這兩個點可以分别确定角的兩條邊的位置。

師：也就是過兩個點可以畫出幾條射線？

生：隻能畫出一條射線。

師：過一個點呢？

生：無數條。

學生言：這與我們昨天做的兩個填空題一樣，過一個點可以畫無數條直線，過兩個點有且隻有一條直線。

學生潤：我可以用三角尺直接畫出來。（闆演）

學生睿：我不認同，為什麼呀？

學生甯：因為這個角就是30°。

（其他學生立刻開始驗證）

生：哦，這個角确實是30°，可以直接用這個角畫30°的角。

學生含：但是，用三角尺畫的角是有限的，不是所有的角都可以畫出來。

師：确實是這樣的，那還有其它的方法嗎？

學生睿：我先畫一條射線，然後将量角器的中心點與射線的端點重合，0°刻度線與射線所在的位置重合，在量角器30°刻度線的地方點一個點，再連接端點與這個點就可以了。

學生語：先畫的射線其實就是角的起始邊，再找到終邊上的一點就可以了。

師：“再連接端點與這個點就可以了”這句話準确嗎？

學生星：不準确，會讓别人誤認為是一條線段。

師：對的，我們可以說以射線的端點為端點，通過剛剛我們找到的這個點，畫一條射線。接下來請同學們将剩下的幾個角一一畫出來，同桌之間互相用文字語言描述你是如何畫的。

第三闆塊：基于共識，拓展延伸

接下來讨論了利用常見的三角闆，在不使用量角器的情況下，可以畫出哪些度數的角？具體對話略。

師：誰能幫助這位同學解答疑惑？

用直尺可以量出度數嗎？

學生瀚：可以用直尺畫出直角。

學生千：平角，也可以是270°的優角。

師：這位同學的問題呢？

如果在3度和4度之間怎麼辦？

學生言：那就發明更小的度量單位。

學生含：也可以用小數表示，如果是3與4的正中間，那就是3.5°。

學生澤：如果不是正中間，那可能就是3.1°、3.2°、3.3°……

學生言：也就是将1°平均分成10份，每份是0.1°。

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