柯西(Cauchy, 1789—1857)是法國 數學家 、 物理學家 、 天文學家 。19世紀初期， 微積分 已發展成一個龐大的分支,，内容豐富，應用非常廣泛。與此同時，它的薄弱之處也越來越暴露出來，微積分的理論基礎并不嚴格。為解決新問題并澄清微積分概念，數學家們展開了 數學分析 嚴謹化的工作，在分析基礎的奠基工作中，做出卓越貢獻的要首推偉大的數學家柯西。

柯西1789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學的律師，與當時法國的大數學家拉格朗日與拉普拉斯交往密切。柯西少年時代的數學才華頗受這兩位數學家的贊賞，并預言柯西日後必成大器。

事業順利，愛情如意。這一年，柯西與美麗的女友牽手走進婚姻的殿堂。妻子非常支持柯西的工作。兩人相濡以沫，互相恩愛。她非常了解自己這位曾被稱為“苦瓜”的丈夫，也理解他對科學的摯愛。

柯西被稱為“苦瓜”，那是學生時代的事了。上學時，柯西喜歡靜靜地呆在一旁邊，就像一根苦瓜。雖然不發言，但腦海翻騰起伏。他偶爾說話，也非常簡短，亦或前言不搭後語。因此，同學們又給他取了個綽号，就是“腦袋劈裡啪啦叫的人”（意思是神經病）。實際上，老師們都知道柯西是個非常聰明的人。柯西平常看的書，都是學者拉格朗的數學論著。這種書，一般學生都不屑一顧，或根本看不懂。他說的話雖然漫無邊際，但細聽下來，很有寓意或哲理，絕非精神病人能說出來。

1830年，法國七月革命爆發，新政府執政。柯西不願與新政權效忠，因為他一直認為：學術與政治是兩條線。一則避開當局者，二則為生計謀，柯西離開祖國，帶着妻子到瑞士、意大利等國教書。他就像春秋時周遊列國的孔子一樣，柯西受到各地大學的熱烈歡迎，他教學非常認真，也受到學生的喜愛。但是，由于體質較差、水土不服等原因，他格外思念自己的祖國。1838年，柯西終于回到巴黎綜合工科學校任教。可是，不久因政治效忠問題隻得再度離開。這次離開長達十年之久。1857年，柯西回到故鄉逝世。

柯西在綜合工科學校所授分析課程及有關教材給數學界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發明微積分(即無窮小分析，簡稱分析)以來，這門學科的理論基礎是模糊的。為了進一步發展，必須建立嚴格的理論。柯西為此首先成功地建立了極限論。

數列

收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N，n > N時，且m≠n，有

我們把滿足該條件的{xn}稱為柯西序列，那麼上述定理可表述成：數列{xn}收斂，當且僅當它是一個柯西序列。

該準則的幾何意義表示，數列{xn}收斂的充分必要條件是：該數列中的元素随着序數的增加而愈發靠近，即足夠靠後的任意兩項都無限接近。

證明

必要性

設

，則

，當m,n>N時，有

那麼，

充分性

由于數列的柯西收斂準則是實數連續性的體現之一，所以用實數公理——戴德金定理證明{xn}收斂。

首先證明柯西序列是有界的。根據柯西序列的定義，對任意ε>0，存在正整數N，當m,n>N時，有|xn-xm|<ε。

于是取m=N 1，則當n>N時，|xn-xN 1|<ε。

解得xN 1-ε<xn<xN 1 ε，即當n>N時，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述數列中添加{xn}的前N項得到{xn}本身，則由于前N項都是确定的實數，不會改變{xn}的有界性（即使此時{xn}的上、下界發生變化）。故對任意正整數n，{xn}都是有界的。

其次證明柯西序列收斂。設{xn}⊆[a,b]，有一個實數集A，A中的任一元素c滿足：區間(-∞,c)中最多有{xn}中的有限項（注意用詞“最多”，意味着可以有0項），而{xn}中的無限項都落在[c, ∞)。并把A在R中的補集設為B，則：

①由取法可知a∈A，并且顯然b∈B。即A和B都是非空數集。

②A∪B=R。

③根據集合A、B的定義，A中任意元素都小于B中的任意元素。

由戴德金定理得，存在唯一實數η，使η要麼是A中的最大值，要麼是B中的最小值。

∵η是A和B的分界點

∴

④由A的定義可知，

。

根據已知條件，當m,n>N時，|xn-xm|<ε

于是xm-ε<xn<xm ε。聯立④中的不等式，可得到η-2ε<xn<η 2ε。

也就是當n>N時，不等式|xn-η|<2ε成立

∴

應用

作為柯西收斂準則的應用之一，我們可以用來證明實數的确界原理。

确界原理：非空有上（下）界數集，必有上（下）确界。

證明：先證非空有上界數集必有上确界。

設S是一個非空有上界的數集，且b1是其一個上界。則由S的非空性及實數的有序性可知，必定存在一個實數a1，使得a1小于S中的某個元素，即a1不是S的上界。

把閉區間[a1,b1]二等分，考慮閉區間中點

，如果

是S的上界，則令

；否則令

。

重複此步驟，即如果某個閉區間中點

是S的上界，則令

，否則令

。這樣一來得到了一系列閉區間，滿足

①an≤an 1<bn 1≤bn

②

并且由閉區間的構造方式可知，對任意自然數n，an都不是S的上界，而bn都是S的上界。

下證{an}、{bn}收斂。

由極限的定義，根據②可知，

，使得當n>N時，|bn-an|<ε。

并且對任意正整數n和p，根據①可知，an≤an p<bn p≤bn。

于是當n>N時，0≤|an p-an|<|bn-an|<ε。

令n p=m，即可得到{an}是一個柯西序列，由柯西收斂準則知{an}收斂。

設

，由②得

。

下證r是S的上确界。

∵bn是S的上界

∴對S中的任一元素x，都有x≤bn

由極限的保序性逆定理可知x≤r，即r是S的上界。

又取任意r’<r，由

及極限保序性可知，存在正整數N，當n>N時，就有an>r'。

∵an不是S的上界

∴r‘不是S的上界

即比r小的數不再是S的上界。根據上确界的定義，r是S的上确界，即非空有上界的數集必有上确界 [1] 。

其次，再來證明非空有下界數集必有下确界。

設B是一個非空有下界的數集，A是B的所有下界組成的數集。

根據下界的定義，

，都有a≤b。換句話說，B中的所有元素都是A的上界，A是一個非空有上界數集。由于已證得非空有上界數集必有上确界，所以A有上确界，記該上确界為r。

下證r也是B的下确界。

顯然r∈A，這是因為如果r∉A，那麼r一定是B中的最小值（根據上确界的定義），即對任意B中的元素b，都有r≤b。根據下界的定義，r也是B的一個下界，這樣一來r∈A，與假設矛盾。

又取任意r''>r，所以r''∉A，即比r大的數不再是B的下界。根據下确界的定義，r是B的下确

界，即非空有下界數集必有下确界。

其他雖然柯西主要研究分析，但在數學中各領域都有貢獻。關于用到數學的其他學科，他在天文和光學方面的成果是次要的，可是他卻是數理彈性理論的奠基人之一。

柯西是一位著名的多産數學家，他的全集從1882年開始出版到1974年才出齊最後一卷，總計28卷。他的主要貢獻如下;

單複變函數

柯西最重要和最有首創性的工作是關于單複變函數論的。18世紀的數學家們采用過上、下限是虛數的定積分。但沒有給出明确的定義。柯西首先闡明了有關概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實定積分的計算，級數與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。

分析方面：在一階偏微分方程論中行進丁特征線的基本概念;認識到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。

幾何方面：開創了積分幾何，得到了把平面凸曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。

3.代數方面：首先證明了階數超過了的矩陣有特征值;與比内同時發現兩行列式相乘的公式，首先明确提出置換群概念，并得到群論中的一些非平凡的結果;獨立發現了所謂“代數要領”，即格拉斯曼的外代數原理。

身體虛弱的柯西一生奔波，但從沒放棄對數學的追求。柯西對數學的最大貢獻是在微積分中引進了清晰和嚴格的表述與證明方法。青年時代在母校寫的三部專著：《分析教程》（1821年）、《無窮小計算教程》（1823年）、《微分計算教程》（1826─1828年）。柯西堪稱現代數學第一人。他在數學領域的成就，舉世矚目。正如挪威數學家阿貝爾所說， “柯西是當今懂得應該怎樣對待數學的人。每一個在數學研究中喜歡嚴密性的人，都應該讀柯西的傑出著作《分析教程》。”借用柯西的一句話：“人總是要死的，但是，他們的功績永存。”

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