微積分中的e

估計會有人說：我不懂微積分，估計看不懂！

沒關系！你可以這樣理解，積分是升維的過程，微分是降維的過程。

例如

把一張張紙疊起來變成厚厚的詞典，這是從2維變成3維的升維，這是積分；

把一大塊羊肉，切成一片片羊肉片，就是從3維為變2維的降維，這是微分。

在微積分中，底數為e的指數函數

，導數還是這個函數

，也就是不論求多少次導數，其導數就像一個常量一樣永遠是恒定的。不知道别人的感覺如何，反正我第一次知道時是很驚奇的。

舉個例子：

西瓜都切過吧？

無論你怎麼切一個實心球，其橫截面都是圓面，也就是3維降2維，還是和圓有關。

2維的圓面也是有很多1維的同心圓組成，也就是2維降1維，還是和圓有關。

無論如何降維，它總是老樣子，一點兒都沒變！

就好像你切掉孫悟空的一部分，你以為是一小片肉，睜眼一看，居然是另一個孫悟空，而且一樣大！

這種自相似或全息性太匪夷所思、太好玩兒了！

下面就是它在直角坐标系中的樣子

美妙的螺線

在上面的部分中，它的美并沒有真正的體現出來。讓我們換一個視角看，你一定會大吃一驚。

我們知道二維坐标系除了直角坐标系外，還有一種常用的是極坐标系。

我們把指數函數

換成極坐标，就變成了

，

是點與極軸的夾角。

這時的指數函數就會變成下圖的樣子，這個螺線叫對數螺線，又叫等角螺線。

之所以叫等角螺線，是因為在極坐标中，螺線和射線的夾角始終是一個固定夾角，如下圖所示，藍線每次穿過射線時，其夾角是固定的，也就是等角，我們在後面會用到這個等角特性。

有人會說：等等！我好像在哪裡見過這東西？

不對，這個圖，好像有什麼東西亂入了...

這就是人體曲線，啊不，是斐波那契螺線，網上很流行玩這種攝影，都快被玩壞了。

斐波那契數列就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……這樣的數列。

其特點是前兩個數加起來就是下一個數，例如

1 1=2

1 2=3

2 3=5

……

34 55=89

……

用這些數畫出來的半圓，可以拼接成下面的螺線形狀，這就是斐波那契螺線。

套用在美女圖片上就可以這樣玩，雖有過度解讀之嫌，但可以獲得極好的傳播效果。

有趣的是這個數列還和黃金比例有關，例如55/34≈1.6176，接近黃金分割比例1.618，數列的數字越到後面，結果就越趨近于黃金分割這個無理數，如下圖

不過斐波那契螺線僅僅是對一種叫黃金螺線的近似，黃金螺線是一種内涵黃金分割比例的對數螺線

下圖紅色的才是黃金曲線，綠色的是“假黃金螺線”（斐波那契螺線），近似卻不重合。

很多科學家發現對數螺線

在自然界中廣泛存在。從大如星系、台風，到小如花朵、海螺……宇宙中到處都是對數螺線的身影

原來e以這種特殊的方式隐藏在自然之中。需要注意的是，這不是e被稱為自然底數的原因，這和大自然沒太大關系。

好了！啰嗦結束，下面開始講為什麼叫自然底數了。

對數的底數

對數中最常用的底數是10、2和e

因為我們使用10進制，數量級和科學計數法也是10的倍數，例如阿伏伽德羅常數6.02*10的23次方。所以

逆運算，以10為底的對數 lg x最常用、最方便，所以又稱常用對數。

10進制是數字表示法中最容易普及的，根源是我們有10個手指，人們初學數字時都喜歡借助10個手指學習1、2、3……10。到了學加減運算時，更是喜歡借助手指計算。不僅老師認為這樣教學直觀，學生也認為這樣練習方便。通過教育，這個強大的習慣，被最廣泛的傳播和固化下來。但如果是8個腕足的章魚發展出了文明，可能更喜歡8進制。

為什麼要以2為底數？

因為2倍或成倍式的增長，即

，是我們日常中最簡單的指數式增長。我們經常說數量成倍、翻倍、翻番、翻兩番，都是2倍率的增長。

你可能也發現了，前面的存款例子實際上都是它，因為這樣的例子最容易理解。所以它的逆運算，底數為2的對數 lb x 也會比較常見。

雖然對數的底數2和10是人們使用體驗和認知體驗最好的對數，但是在數學中，這兩個數卻是不自然的，因為都是在方便人的需要。

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