本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

奇妙的規律

作者 : 許凱

作品編号：056

暑假裡，我正自由自在地在數學的世界裡暢遊，突然，一道數學題吸引住了我的目光：當周長相等的情況下，正方形和長方形的面積哪個更大呢？诶，這道題有意思，我的精神一下子就打了起來，開始聚精會神地思考起來，可是我卻一時沒有頭緒。于是，我決定先舉幾個整數的數據看看。當周長為36時，正方形的面積為（36÷4）的平方，也就是81，而長方形的可能就不止一種了，36÷2=18，一組長與寬和是18，那就可以這麼組合：長17寬1，面積17；長16寬2，面積32；長15寬3，面積45；……；長8寬10，面積80。在這些長方形中，面積最大的是80的，而即使是這個最大的也比正方形小1。

一組數據不能證明什麼，我又列舉了許多數據，發現正方形面積總是比最大的長方形面積大1。而且它們之間都有着一種奇妙的正方形的邊長總比最大長方形的長短1，比最大長方形的寬長1，這難道僅僅隻是巧合嗎？這其中有什麼規律嗎？……無數疑問從我腦中閃過。

我又從不同的方面開始嘗試，先從合數開始：就，18吧。18×18=324,（18 1）×（18-1）=323，324與323的差自然是1；質數也來試一試，就11了，11×11=121，（11-1）×（11 1）=120，121-120也是1！

自然數中除了合數和質數還有什麼呢？對了，還有比較特殊的0和1，它們既不是質數也不是合數，先拿1來試試，它的平方不用說，還是1，而（1-1）×（1 1）=0，1還是比0大1！那0呢？0的平方還是0，而（0-1）×(0 1)的結果是一個負數，-1，-1剛好比0小1，還是符合這個規律！

自然數好像都可以耶！那再來試試負數：-1，它的平方是1，而（-1 1）×（-1-1）=0，0比1小1，看來似乎負數也可以？再試試小數吧：1.2，就你了，1.2×1.2=1.44，（1.2-1）×（1.2 1）=0.44，1.44-0.44仍然等于1！

那有理數都是試完了，最後還有無理數和複數呢。無理數就選了，它的平方母庸質疑是2，而（ 1）×（-1）則是等于1，1就是比2小1，這個規律難道真的無法打破嗎？别急，還有一位參賽選手：複數呢，就拿最基本的i了，根據它的定義，i×i=-1，而（i-1)×（i 1)=-2，-1-（-2）=1，這個規律仍然奏效！

但是老師上課說過，舉例子并不能證明什麼，要用嚴格的數學辦法來證明。我想了想，（x 1)·(x-1)展開整理後不就等于x·x-1嗎？所以上面那個規律自然是成立的！

那麼，除了 1-1， 2-2、 3-3乃至 y-y呢，這些有用什麼規律呢？（x y）·（x-y）展開整理後也就是x·x-y·y，也就是說（x y）·（x-y）=x·x-y·y，而y·y必然大于等于0，而等于0的情況，長方形就變成了正方形，所以，在周長相等的情況下，正方形的面積一定是大于長方形的！想不到，從這麼一個小小的問題裡，我卻發現了一個這麼奇妙的公式，數學世界實在是無奇不有啊！

所以，隻要你肯堅持下去，肯去不斷地探索，無論你是小孩子還是老人家，無論你赫赫有名還是無名小卒，數學世界的大門永遠像你們敞開！

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015 中學數學德育滲透的方法與路徑

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019 以折疊為例，探究生長型數學教學模式

020 我從事數學科普寫作的經驗與啟示

021 在閱讀中滋長智慧——讀《教育智慧從哪裡來》有感

022 學習數學史 做數學的使者

023 開數學文化之窗 啟數學文化魅力——閱讀《美麗的數學》有感

024 “文學獨白”——數學教學因你而精彩

025 如何用多面體三等分正方體

026 HPM視角下《圓的周長》教學設計

027 被誤解的“勾股定理”

028 好玩的數學

029 幫小青蛙設計一個井

030 萬物的基礎——數學——讀《從一到無窮大》有感

031 讀《孫子算經》雞兔同籠問題有感

032 HPM視角下高中數學多樣化作業的設計

033 攀越高峰的領路人——數學文化

034 我的好兄弟：數學

035 細嗅數學文化之香

036 藤蔓的喜悅

037 物理力學中數學的影子

038 複數外傳

039 函數的曆史和發展

040 數學文化與我

041 數學之趣

042 探索數學知識背後的秘密

043 數學文化和我的數學學習

044 古代算數幾何形體——陽馬與鼈臑

045 數學文化與我的數學學習

046 我與數學文化

047 “形象”的數學

048 站在巨人的肩膀上學習數學

049 從數學文化和個人影響的角度剖析對數的曆史

050 論數學文化

051 我與數學文化

052 正弦定理的源起與應用

053 數學文化融入初中數學教學的實踐與思考

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