第八篇 平面解析幾何
專題8.03 圓與方程
【考試要求】
掌握确定圓的幾何要素，掌握圓的标準方程與一般方程.
【知識梳理】
1.圓的定義和圓的方程
【規律方法】 求圓的方程時，應根據條件選用合适的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：
(1)幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.确定圓的方程時，常用到的圓的三個性質：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓内切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；
(2)代數法，即設出圓的方程，用待定系數法求解.
【規律方法】 把有關式子進行轉化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現了數形結合以及轉化的數學思想，其中以下幾類轉化較為常見：
(1)形如m＝的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；
(2)形如m＝ax＋by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉化為兩點間距離的平方的最值問題.
角度2 利用對稱性求最值
【規律方法】 求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：
(1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；
(2)“曲化直”，即将折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.
【規律方法】求與圓有關的軌迹問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根據題目提供的條件列出方程；
(2)定義法，根據圓、直線等定義列方程；
(3)幾何法，利用圓的幾何性質列方程；
(4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.
【反思與感悟】
1.确定一個圓的方程，需要三個獨立條件.“選形式、定參數”是求圓的方程的基本方法，是指根據題設條件恰當選擇圓的方程的形式，進而确定其中的三個參數.
2.解答圓的問題，應注意數形結合，充分運用圓的幾何性質，簡化運算.
【易錯防範】
1.求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個獨立方程.
2.熟練掌握配方法，能把圓的一般方程化為标準方程.
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