在平行四邊形這一章節中，除了幾何思想外，還可以與代數思想相結合在，真正做到數形結合。平行四邊形中方程思想、轉化思想與構造思想很重要，需要做到活學活用。

在幾何圖形中，有些題目需要設未知數找等量關系比直接解題要方便簡單，常見的為已知四邊形的面積、周長、線段的和差關系等。

例題1：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，A＝5，四邊形ABCD的周長為36，求AB，BC的長．

分析：已知平行四邊形的周長，利用公式可知鄰邊之和為周長的一半，根據平行四邊形的面積不變（即等積法）可得到鄰邊之間的倍數關系，通過設兩個未知數，得到關于鄰邊的方程組，求出方程組的解即可。

解：在ABCD中，CD＝AB.

∵ABCD的面積＝BC·AE＝CD·AF，

AE＝4，AF＝5，

∴4BC＝5CD，即BC：CD=5：4

設BC=5x，CD=4x，

又2(AB＋BC)＝36，

∴AB＋BC＝18，即BC＋CD＝18，

∴5x 4x=18，解得：x=2

∴BC=5x=10，CD=4x=8，

即AB＝8，BC＝10.

鞏固練習：已知平行四邊形ABCD的周長為28，對角線AC，BD相交于一點O，且△AOB的周長比△BOC的周長大4，求AB，BC的長．

平行四邊形的一條對角線可将平行四邊形分割成兩個全等的三角形，兩條對角線可将平行四邊形分割成四個三角形，相對的兩個三角形全等，四個三角形的面積相等，都等于整個平行四邊形面積的四分之一。解決四邊形的長度、面積問題時有些時候需要轉化為三角形問題，有時也需要用四邊形的中心對稱性進行轉化。

例題2：如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O作直線交AD于點E，交BC于點F，若ABCD的面積為30 cm2，求圖中陰影部分的面積．

分析：求陰影部分的面積，陰影部分由三個三角形組成，如果一個一個求三角形的面積，比較繁瑣，如果用平行四邊形的中心對稱性進行轉化就可以輕松解決了。可以證明△BOF與△DOE全等，根據全等三角形的面積相等，可将△BOC的面積轉化為△DOE的面積，那麼陰影部分的面積即為△ACD的面積，而△ACD的面積又等于平行四邊形ABCD 面積的一半。

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝CB，DC＝BA.

∵AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA.

∴S△ABC＝S△CDA＝SABCD÷2＝15(cm2)．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OD＝OB，AD∥BC.

∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO.

∴△DOE≌△BOF，

∴S△DOE＝S△BOF.

∴S陰影部分＝S△BOF＋S△AOE＋S△COD ＝S△DOE＋S△AOE＋S△COD＝S△CDA＝15 cm2.

鞏固練習：如圖，在ABCD中，對角線AC，BD交于點O，EF過點O與AB交于點E，與CD交于點F，GH過點O與AD交于點G，與CB交于點H。求證：GF＝EH.

構造法是根據題設條件或結論具有的特征、性質，構造出滿足條件或結論的數學模型，借助該數學模型來解決原數學問題的解題方法．對于某些問題，常采用構造平行四邊形的方法，從而利用平行四邊形的性質使問題變得簡單。

分析：本題可以利用倍長中線法來解題。延長AD至N，使DN=AD，連接BN，可證明△BDN≌△CDA（SAS），則BN=AC，∠CAD=∠N，根據AE=EF，得∠CAD=∠AFE，可證出∠N=∠BFG，即得出AC=BF，也可構造平行四邊形來解決。

證明：如圖，延長AD至N，使DN＝AD，連結BN，CN，則四邊形ABNC是平行四邊形．

∴BN＝AC，BN∥AC，

∴∠BNA＝∠NAC.

∵AE＝FE，

∴∠FAE＝∠AFE.

∵∠AFE＝∠BFN，

∴∠BFN＝∠BNF.

∴BN＝BF，

∴BF＝AC.

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