數學課本裡總有一些很難弄明白的原理，對着數學你是不是愛不起來！把它們都變成GIF是不是容易多了？

聽說給小朋友看，可以騙TA相信數學就是動畫片哦！

請聽題：三角函數既然是函數，那它的自變量和因變量都是什麼？

圖片作者：LucasVB（1ucasvb）

從這張圖裡可以很明顯看到，所謂正弦函數，其實就是圓上任意一點的y坐标（紅）和弧長（藍）之間的關聯。左圖的藍色弧長和右圖的藍線完全一樣。

而弧長又和弧度是完全對應的。為什麼高中老師不肯用經典的360度角而一定要教你奇怪的“弧度”？就是因為這個對應。1弧度就是長度為1個半徑的弧所對應的角，π弧度就是正好半個圓——相應的，之所以 Sinπ=0，正是因為當藍線走了一個π（一個半圓）的時候，正好也走回到了 y = 0 的地方。

圖片作者：又是LucasVB（1ucasvb）

那餘弦函數呢？留給讀者作為練習——

圖片作者：還是LucasVB（1ucasvb）

sin函數和Cos函數曲線怎麼來的？

餘弦函數就是圓上任意一點的x坐标和弧長之間的關聯，隻不過在畫函數曲線的時候，把圓上點的x坐标打了個彎，對應成了函數曲線上的y坐标，就像這張圖裡的藍線那樣。

為了體現餘弦函數的這個對應，我們也可以直接把函數本身豎過來，就成了這樣：

當然，這種對應也可以用在其它幾何圖形上，隻不過就不如圓那麼美麗了，比如下面這個醜陋的心形。

要不為什麼說圓是最完美的身材！（并不是）

極坐标的魔法

如何把直角坐标變成極坐标？看我的：

這是什麼黑魔法……

别急，聽我解釋，事情就是你看到的那樣：

首先我們需要把函數沿直線 y = x 翻轉。之所以要有這一步，是因為極坐标裡我們很武斷地把0度定義在了朝右。如果0度是（更自然的）朝上，那就不需要這一步了。

然後，我們把Y軸折彎過來，直到它縮成一個點。成功！

思路是這樣的：直線在幾何上可以認為是具有無限直徑、無限曲率半徑的一個圓，永遠不向自身彎折。但如果我們逐漸降低曲率半徑，從無限一直降到零，就等于是把Y軸變成一個逐漸縮小的圓、最後變成一個點。而原來直角坐标的“Y軸”所承載的信息，在轉換中就逐漸移交給了極坐标的“角度”。

注意，這個轉換體現的是極坐标和直角坐标之間不同的對應方式，是把一種對應變成了另一種對應，而不是說把同一個曲線從直角坐标表達式換成極坐标表達式。前後兩個是不同的曲線。

正十七邊形尺規作圖

圖片作者：Aldoaldoz

正十七邊形可以用尺規作出來，這是高斯1796年19歲時證明的。這是正多邊形尺規作圖兩千年來頭一次有所突破——換句話說，上一次人們發現新的正多邊形尺規作圖法還是在古希臘。

但是，高斯本人實際上并不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出，而上面的這個方法——“卡萊爾圓法”則要更晚。（猜猜這個卡萊爾是誰？托馬斯·卡萊爾。對，就是那個《法國大革命史》和《論英雄、英雄崇拜與曆史上的英雄業績》的作者。）

那高斯怎麼就知道正十七邊形是可以做出來的呢？因為他懂數學。他已經知道，如果一個正多邊形内角的三角函數能用加減乘除和開平方表達出來，那就意味着這個正多邊形能用尺規做出來。（尺規等價于隻使用圓和直線的交點作圖，直線的表達式是二元一次方程，圓的表達式是二元二次方程，所以隻用到了加減乘除和開平方。）而他又證明了，隻要正多邊形的邊數n是費馬素數，那麼就能這麼表達。當時人們已經知道前五個費馬素數是3、5、17、257和65537，所以高斯等于一舉證明了這五種正多邊形都是尺規可做的。

不過，正三邊形（好吧，正三角形）和正五邊形人們早知道了，而正257邊形什麼的做起來又太麻煩，所以最後正十七邊形成了最出名的。

那麼正十七邊形的對應三角函數應該怎麼表達？高斯的《算術研究》給出了結果：

三角形内角和為什麼是180º？

怎樣把一個四邊形剪拼成一個長方形？

兩個全等三角形可以拼成一個平行四邊形

兩個全等梯形可以拼成平行四邊形

怎樣将一個正三角形剪拼成正方形？

怎樣把兩正方形剪拼成一個大正方形？

三角形外角和為360º的三種動畫解釋

畫一個橢圓

個橢圓

接着是一個雙曲線

雙曲線體是由無數條直線構成的！

這是一個它的實際應用

對數函數是這樣來的

帕斯卡三角形的計算方法

圓周率怎麼來的？

黃金分割

如何計算圓形的面積？

tan函數曲線怎麼來的？

這張可以表示Sin與Cos的關系

弧度制怎麼來的？

矩陣轉置怎麼來的？

勾股定理怎麼來的？

謝爾賓斯基三角怎麼來的？

多邊形的外角和等于360度怎麼來的？

怎麼樣，對數學是不是有了一點好感呢？

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