著名數學思維問題?你的數學直覺怎麼樣？你能憑借直覺，迅速地判斷出誰的概率大，誰的概率小嗎？我們将連載這種反直覺的有趣數學問題如果你感興趣的話，你可以先試着用直覺來判斷，再詳細分析答案，看看你猜對了多少，我來為大家科普一下關于著名數學思維問題?以下内容希望對你有幫助!

著名數學思維問題

你的數學直覺怎麼樣？你能憑借直覺，迅速地判斷出誰的概率大，誰的概率小嗎？我們将連載這種反直覺的有趣數學問題。如果你感興趣的話，你可以先試着用直覺來判斷，再詳細分析答案，看看你猜對了多少。

我們來開始今天的題目：

1．A 、 B 、 C 、 D 四人玩撲克牌遊戲， A 、 C 兩人同盟， B 、 D 兩人同盟。将除去大小王的 52 張牌随機分發給四人（每人獲得 13 張牌）後，下面哪種情況的可能性更大一些？

A．A 、 C 兩人手中都沒有梅花B．A 、 C 兩人手中囊括了所有的梅花C．上述兩種情況的出現概率相同

解：

A 、 C 兩人手中都沒有梅花，等價于 B 、 D 兩人手中囊括了所有的梅花，它的概率與 A 、 C 兩人手中囊括所有梅花的概率相同。因此，這個問題的答案顯然是 C 。

2．我給 10 個好朋友分别寫了一封信，并把這 10 個人的地址分别寫在了 10 個信封上。如果我随機地将這 10 封信裝進 10 個信封裡（每封信都裝進了一個不同的信封裡），下面哪種情況的可能性更大一些？

A．恰好有 9 封信裝進了正确的信封B．所有 10 封信都裝進了正确的信封C．上述兩種情況的出現概率相同

解：

你或許會以為，全都裝對的可能性很低，裝錯一個的可能性則略高一些。然而事實上，這道題的答案是 B 。原因非常簡單：恰好有 9 封信裝對，這是根本不可能的——如果其中 9 封信都裝對了，剩下的那一封信肯定也裝對了。

實際上， 10 封信的排列方式一共有 10! = 3628800 種，其中裝對的信有 0, 1, 2, 3, …, 9, 10 封的情況數分别為 1334961, 1334960, 667485, 222480, 55650, 11088, 1890, 240, 45, 0, 1 。可以看到，絕大多數時候，這個數列裡的數都是不斷遞減的；也就是說，裝對的信越多，概率就越低，這個直覺确實是準确的。唯一的例外，就是這個數列的最後兩項，其背後的原因正如剛才所說。

你或許發現了一個有趣的現象：數列的第二項正好比第一項小 1 。這并不是巧合。有一個普遍的規律是，假設把 n 封信裝進 n 個信封裡，那麼當 n 為偶數時，裝對 1 封信的情況數比全都裝錯的情況數少 1 ，當 n 為奇數時，裝對 1 封信的情況數比全都裝錯的情況數多 1 。我們下面就來證明這一點。

假設把 n 封信裝進 n 個信封裡，全都裝錯的情況有 Dn 種。那麼，數列 D1, D2, D3, … 滿足一個非常簡單的遞推關系： Dn = (n – 1) (Dn-1 Dn-2) 。為什麼呢？我們慢慢來分析。由于每封信都裝錯了，因此第 1 封信沒有裝進 1 号信封。無妨假設它裝進了 2 号信封。那麼，第 2 封信裝到哪兒去了呢？如果第 2 封信正好裝進了 1 号信封，那麼剩下的 n – 2 封信就有 Dn-2 種可能的裝法。如果第 2 封信沒有裝進 1 号信封呢？情況就變成了這樣：第 2, 3, 4, …, n 封信裝進了編号分别為 1, 3, 4, …, n 的信封裡，其中第 2 封信不在 1 号信封裡，第 3 封信不在 3 号信封裡，第 4 封信不在 4 号信封裡……總之，這 n – 1 封信中，每封信都正好有一個禁放的信封。于是，這就構成了 Dn-1 種可能的裝法。當然，第 1 封信也有可能裝進了 3 号信封裡，也有可能裝進了 4 号信封裡……因此，我們就有 Dn = (n – 1) (Dn-1 Dn-2) 。

在這個式子的左右兩邊同時減去 n · Dn-1 ，于是得到：

Dn – n · Dn-1 = – (Dn-1 – (n – 1) · Dn-2)

令 An = Dn – n · Dn-1 ，于是 An 滿足遞推關系式：

An = – An-1

可以驗證：

A2 = D2 – 2 · D1 = 1 – 0 = 1

于是有：

An = (-1)n

即 Dn – n · Dn-1 = (-1)n 。而 n · Dn-1 正好表示把 n 封信裝進 n 個信封裡恰好裝對 1 封信的情況數。

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