對于文化層次較低的職場人來說,學習的困難主要有三個。其一是不知道該學什麼,其二是不知道該如何學習,其三就是遇見困難無人可問。
本篇我們來讨論如何學習數學。
學習電氣知識,數學是基本工具。需要學習的數學知識包括:一元函數微積分、多元函數微積分、級數、常微分方程、複變函數、線性代數和矩陣等等。
這些數學知識與電氣知識有何關系?我簡單地描述一番。
我們看圖1:
圖1的電路十分簡單,圖中我們看到了電源E,電感L,電阻R,還有開關開斷後形成的電弧AIR。我們需要确定電弧電壓U與電流I的關系。
根據基爾霍夫第二定律KVL,有如下關系:
E=LdILdt IR U ,式1
式1等号右邊第一項是電感産生的反向電動勢,這裡故意把它的負号略去,以便進一步帶着極性來展開讨論。
電感的反向電動勢,它等于電感量乘以電流對時間的導數。電流對時間的導數其實就是電流改變量與時間改變量當時間改變量趨于零時的比值,也即:
e=LlimΔt→0ΔIΔt ,式2
式2中同樣略去了等号右側的表征反向電動勢的負号。我們看到,如果電流對時間不發生變化,則電感産生的反向電動勢為零。
如果我們把交流電流 i=2Isin(ωt φ) 代入式2,求導後會出現餘弦,我們會發現電流滞後于電壓,并由此知曉電感電路中電流與電壓的關系。
關于這一點,往往人們死記硬背而不知曉它的真正原理。這些原理在《電路分析》中都有。
式1是一個微分方程,我們對它求解,就能得出電路中電流與電弧電壓的關系。這種關系能揭示為何電弧具有負電阻特性。電弧的電壓與電流的曲線如下:
由此可知,我們需要學習高等數學中的求導方法,要學習高等數學中求解微分方程的方法。
我們看到,式1中的方程并不複雜。但如果電源是交流的,電流和電壓當然也是交流的,這時求解方程就會麻煩一些。
注意到描述交流電流和電壓有兩種關系,即它們的幅值對時間的變化規律,以及頻率的變化規律。我們把它們叫做值域和頻域。
當我們學習了複變函數的拉普拉斯變換後,我們把微分方程的值域變化變換到複平面中,成為一個很簡單的代數方程,求解完成後,在反變換回來,就能得到最終結果。
同理,我們也可以把微分方程的頻域變化變換到複平面中,來了解電路在低頻和高頻時會發生何種變化規律。
由此可知,我們需要學習工程數學中的複變函數。
既然數學對于學習電氣知識如此重要,我們是不是就要象數學專業的學生那樣仔細研究數學?答案是否定的。對我們來說,數學隻是工具而已。我們隻需要知其然而不一定非要知其所以然。
因此,學習微積分中的求導和積分,學習如何求解微分方程,學習複變函數中的解析函數論以及拉普拉斯變換,初步了解傅裡葉變換,這就足夠了。
看似簡單,但這裡的數學知識已經夠高中文化的自學者們傾其所能喝一壺了。
自學者學習的最大困難就是遇見問題無人解答,于是學習就在發生困惑之處停留下來,學習進度受到極大影響。
解決問題的方法,首先是選用合适的教材,其次是學習方法和學習進度。
我建議,自學者的教材一定要選用導論類書籍,例如《高等數學導論》、《微積分導論》和《複變函數導論》等等。
導論類書籍的特點是容易學,不是特别深奧,且該有的全部都有。同時,導論類書籍往往會有一定篇幅的知識橫向聯系。
我們看《微積分學導論》的目錄:第1章 實數與函數1.1 實數1.1.1 有理數與無理數1.1.2 确界原理1.1.3 不等式1.2 函數1.2.1 函數的定義1.2.2 函數的運算1.2.3 函數的表示方法複習第2章 極限理論2.1 數列極限2.1.1 數列極限的定義2.1.2 數列極限的性質與四則運算法則2.1.3 數列收斂的判别法則2.1.4 自然對數底e2.2 函數極限2.2.1 函數極限的定義2.2.2 函數極限的性質與四則運算2.2.3 複合函數的極限2.2.4 函數極限的判别法則2.2.5 兩個重要極限及其應用2.2.5 兩個重要極限及其應用2.3 無窮小量與無窮大量2.3.1 無窮小量及其比較2.3.2 無窮大量及其比較2.4 函數的連續性2.4.1 函數連續性的概念2.4.2 連續函數的性質與四則運算2.4.3 初等函數的連續性2.4.4 有界閉區間上連續函數的性質2.4.5 一緻連續性複習第3章 單變量函數的微分學3.1 函數的導數3.1.1 導數的引入3.1.2 導數的定義3.1.3 可導函數的性質3.1.4 函數導數的計算3.1.5 高階導數3.1.6 應用3.2 函數的微分3.2.1 微分的定義3.2.2 微分運算的基本公式和法則3.2.3 高階微分3.2.4 微分的應用——近似計算與誤差估計3.3 微分中值定理3.3.1 羅爾定理3.3.2 拉格朗日中值定理3.3.3 柯西中值定理3.4 未定式的極限與洛必達法則3.4.1 洛必達法則3.4.2 其他類型的未定式3.5 泰勒公式3.5.1 泰勒公式3.5.2 幾個初等函數的麥克勞林公式3.5.3 泰勒公式的應用3.6 微分學的應用3.6.1 函數的單調性與極值3.6.2 函數的凹凸性與漸近線3.6.3 函數圖像的描繪3.6.4 平面曲線的曲率複習第4章 單變量函數的積分學4.1 不定積分的概念與性質4.1.1 原函數與不定積分的概念4.1.2 不定積分的基本公式與基本運算法則4.2 不定積分的計算方法4.2.1 不定積分的換元法4.2.2 不定積分的分部積分法4.2.3 幾種特殊類型函數的積分4.3 定積分的概念和可積函數類4.3.1 定積分的概念4.3.2 可積性判别準則與可積函數類4.4 定積分的基本性質與微積分基本定理4.4.1 定積分的基本性質4.4.2 微積分基本定理4.5 定積分的計算方法4.5.1 定積分的換元法4.5.2 定積分的分部積分法4.6 定積分的應用4.6.1 定積分在幾何中的應用舉例4.6.2 定積分在物理中的應用舉例4.7 廣義積分4.7.1 無窮區間上的積分4.7.2 無界函數的積分複習第5章 微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 一階微分方程5.2.1 變量分離方程5.2.2 齊次方程5.2.3 可化為齊次方程的方程5.2.4 一階線性方程5.2.5 伯努利方程5.3 可降階的二階微分方程5.3.1 不顯含未知函數的二階微分方程5.3.2 不顯含自變量的二階微分方程5.4 二階線性微分方程解的結構5.4.1 二階齊次線性微分方程解的結構5.4.2 二階非齊次線性微分方程解的結構5.5 二階常系數線性微分方程5.5.1 二階常系數齊次線性微分方程5.5.2 二階常系數非齊次線性微分方程5.5.3 歐拉方程5.6 微分方程的應用複習附錄 實數的構造參考答案索引
下圖是亞馬遜上的圖片:
這本教材的内容還是很全的。對于學習電氣知識的初學者來說,已經足夠了。學習時重點放在第3章、第4章和第5章的學習上。
我們再來看學習方法。
自學者往往會把讀中學時所熟悉的學習方法帶到高數學習中。中學是應試教育。不管是老師講課也好,還是教材也好,都是為了讓學生們達到應試的目的。對于自學者來說,我們的學習方法是功利性的,有用的知識要學,沒有用的知識不學。
其次,中學數學中把大量的學習時間和知識面用于類似三角函數的推導和計算上了,但在高等數學的學習中,三角函數被極大地弱化。由此可見,如果把中學數學的學習方法直接移植過來顯然是不合适的。
對于自學者來說,要弄懂微積分的深層次的理論,是很困難的。因此,對于微積分的理論部分,例如極限論部分,可以适當地放松,把主要精力放在求導、求微分和求積分上。對于微分方程,則必須學好。
這種方法就叫做功利性的學習策略。
前面說過,自學者最大的問題就是遇見困難沒人解釋,學習進度也因此停滞下來。所以,當遇見困難時,一定不能停下來,把問題暫時擱置,繼續往後學。往往學到後面,前面的疑點自然就會解決。
另外,要特别注意繪制函數圖像。繪圖是一項基本功,不管是數學學習也好,是電氣知識學習也好,都會涉及到圖形繪制,因此要熟練掌握。
至于學習進度,可以和《電路分析導論》同步進行。
對于《複變函數導論》的學習,無疑是很重要的。但一定要在學完微分方程後再開始,這樣就能夠明白複變函數到底是幹什麼用的。
對于電氣知識的學習來說,複變函數的方法貫穿了學習的全過程。事實上,電氣知識中的相量分析和計算,其基礎知識就是複變函數。
所以,學習完微積分和微分方程後,盡快開始複變函數的學習。
以上這些數學知識學習最好在一年内全部完成。越早完成越好,這樣才能實現電氣知識學習的主動權。
主要就是這些。
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