#頭條創作挑戰賽#
在高等數學中有這麼一道練習題，要求證明單調遞增數列的上極限等于數列的極限.
證明：若{an}為遞增數列，則lim ̅(n→∞)an=lim(n→∞)an.
這個問題恐怕難倒了不少小夥伴，關鍵是，很多人完成證明之後，并不明白這個定理到底講的是什麼。根據極限存在的充要條件，上極限=下極限。可以知道，隻要上極限等于極限，下極限也會等于極限，即數列有唯一的極限，也就是說，這個數列收斂。從而得到一個結論：遞增數列收斂。
再換個角度想一下，既然遞增數列的上極限等于極限，從而又等于下極限。那麼遞減數列，是否也有下極限等于極限，從而也等于上極限，說明遞減數列同樣收斂。從而得到“單調數列收斂”的結論呢？
下面老黃給小夥伴們分享這道題的證明過程：
證：若{an}有界，則由單調有界定理知，lim(n→∞)an存在，且lim ̅(n→∞)an=lim)n→∞)an.
若{an}無界，則lim ̅(n→∞)an= ∞，【顯然，這裡的收斂包括收斂于無窮大的類型，雖然數列(或函數)沒有上界，但這也是分成兩種情況的，一種是沒有上界，且不收斂于無窮大的，這種情況下通常是在無窮大的地方振蕩的；另一種是沒有上界，但卻收斂于無窮大的】
從而對任意正數M，{an}中大于M的項有無限多個，
設aN>M，由{an}的增性，當n>N時，an>aN>M，
∴lim(n→∞)an= ∞=lim ̅(n→∞)an，得證！
同理也可以證明遞減的數列有下極限等于極限。不過我們并不需要重複上面的過程。隻要設{bn}是遞減數列，然後取它的相反數列{-bn}，就是一個遞增數列，由上面證明的結果，就可以知道lim(n→∞)(-bn)= ∞=lim ̅(n→∞)(-bn).
又由lim(n→∞)(-bn)=-lim(n→∞)bn, 而lim ̅(n→∞)(-bn)=-▁lim(n→∞)bn.
就可以得到lim(n→∞)bn=▁lim(n→∞)bn的結論了。
綜上可知，單調數列有：lim ̅(n→∞)an=▁lim(n→∞)an=lim(n→∞)an.
直觀地說，這是因為單調數列隻有在n趨于無窮大的地方，才有可能有數列的無限多個項造成的結果。
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