現在能求解的微分方程有多少類型?今天要讨論的是一類相對容易求解的微分方程──二階常系數齊次線性微分方程，接下來我們就來聊聊關于現在能求解的微分方程有多少類型?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

現在能求解的微分方程有多少類型

今天要讨論的是一類相對容易求解的微分方程──二階常系數齊次線性微分方程。

我們拿到一個二階常系數齊次線性微分方程

y" py' qy＝0 微分方程(1)

(其中p和q都是常數)，想要求其通解。由二階齊次線性微分方程的解的結構，我們知道：如果能找到此微分方程兩個線性無關的解y₁和y₂，那麼y=C₁y₁ C₂y₂即是其通解(C₁和C₂為任意常數，下同)。

我們知道函數y=eʳˣ (r為常數)的各階導數之間都隻相差一個常數因子，這個特性非常适合微分方程(1)的胃口。因而我們有理由做這樣一個猜測：是不是能找到一個合适的常數r使得y=eʳˣ滿足微分方程(1)。在這種猜測下，我們試着把y=eʳˣ代入到微分方程(1)中，整理得

(r² pr q)eʳˣ=0

因為eʳˣ≠0，所以

r² pr q=0 方程(2)

隻要r滿足方程(2)，y=eʳˣ便是微分方程(1)的一個解。我們把方程(2)叫做微分方程(1)的特征方程。

特征方程r² pr q=0的根可能有三種情況，這也導緻微分方程(1)的通解有三種不同情形，我們分别讨論：

（一）若p²-4q＞0，特征方程有兩個不相等實根r₁和r₂，那麼

y=C₁eʳ¹ˣ C₂eʳ²ˣ

便是微分方程(1)的通解。

（二）若p²-4q=0，特征方程有兩個相等實根r₁=r₂，那麼y₁=eʳ¹ˣ便是微分方程(1)的一個解。要想求微分方程(1)的通解還需找到一個與y₁線性無關的解。這就又到了關鍵時刻，需要我們大膽推測另外一個解的形式y₂=u(x)y₁=u(x)eʳ¹ˣ，其中u(x)是x的函數，且u(x)≠常數。當我們把y₂=u(x)eʳ¹ˣ代入到微分方程(1)中整理發現，隻要u(x)的二階導數等于0就能使得微分方程(1)成立。那麼我們不妨選u(x)=x，于是y₂=xeʳ¹ˣ，這樣就可以得到微分方程(1)的通解：

y=C₁eʳ¹ˣ C₂xeʳ¹ˣ=(C₁ C₂x)eʳ¹ˣ

(三)若p²-4q＜0，特征方程有一對共轭複根r₁=a bi，r₂=a-bi (b≠0)。那麼eʳ¹ˣ和eʳ²ˣ便是微分方程(1)的兩個解，但它們是複值函數形式。我們希望得到實值函數形式的解，我們利用歐拉公式eⁱᵇ=cos b isin b和齊次線性微分方程解的疊加原理得到微分方程(1)的兩個實值函數形式的解：

y₁=(eʳ¹ˣ eʳ²ˣ)/2=eᵃˣcos bx

y₂=(eʳ¹ˣ-eʳ²ˣ)/2i=eᵃˣsin bx

于是，得到微分方程(1)的通解：

y=C₁eᵃˣcos bx C₂eᵃˣsin bx

=eᵃˣ(C₁cos bx C₂sin bx)

如上，隻要求得二階常系數齊次線性微分方程的特征方程的根，就能輕松得到該微分方程的通解。

以上為個人理解。如有錯誤，歡迎指正。

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