對于如下幾類排列組合等應用問題：

（１）其中某幾個元素不相鄰；

（２）所有元素兩兩相同；

（３）其中某幾個元素的排列順序一定的；

我們可以采用“逆向思維”模式：先給出該問題結果的某一排列或組合，然後逆向思維産生這一結果的“過程”，最後依據這一“過程”進行推理與計算．

一、　其中某幾個元素不相鄰的排列組合應用問題

[例1] 如下圖，某建築工地搭建的腳手架局部類似于4×3×2的長方體框架（由24個棱長為一個單位的正方體框架組合而成），一建築工人從A點沿腳手架到B點，每步走一個單位長度，且不連續向上登攀，則其行走的最近路線共有：

A.150條 ； B. 525條； C. 840條 ; D.1260條。

分析與解：假設建築工人從A點沿腳手架到B點行走的一條最近路線依次是：向右，向上，向北，向北，向上，向右，向上，向右，向右（共9步且向上的３步不相鄰鄰），這一最近路線可看成從向右或向北的６步中選４步向右，剩下的２步向北，再将向上的３步插入到前６步形成的7個空隙中，所以其行走的最近路線共有

選B。

例2, 7張椅子4人入座,每人坐1張,恰有2張空椅相鄰的不同坐法有多少種？

分析與解:逆向思維如下：用a,b,c,d表示4人分别入坐1張椅子的一個結果；用“0”表示空椅子．假設該問題的某一坐法是：a，0，b，0，0，c，d,這一坐法可以看成4人先坐在4張固定的椅子上,再把3張空椅子(恰有2張空椅相鄰)插入到這4人形成的5個空隙中,故不同坐法有

評析:凡“其中某幾個元素不相鄰的排列組合應用問題”，都是使用“先排可相連的，後插入不相連的”的“插空法”。

二、所有元素兩兩相同的排列組合應用問題（也叫名額分配問題）

例3，方程

的非負整數解的個數是多少？

分析與解：若定義映射

則 f是從方程

的非負整數解集到方程

的正整數解集的一一映射。

逆向思維如下：假設方程

的一個正整數解是

=（１，１＋１，１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１），

這相當于将11個“1”排成一行後, 用3塊闆子将它們隔成4部分, 使每一部分至少有1個“1”，所以方程

正整數解的個數是

從而方程

的非負整數解的個數也是120。

例4，現準備将6台型号相同的電腦分配給5所小學，其中A 、B 兩所希望小學每個學校至少2台，其他小學允許 1台也沒有，則不同的分配方案共有多少種？

分析與解: 逆向思維如下,假設A 、B 兩所希望小學及其餘的3所小學分配的電腦台數分别是：2，3，1，0，0，這一分配方案可看成先将 A、B 兩所希望小學各分配2台電腦，剩下的２台再分配給這5所小學（相當于求方程

的非負整數解的個數），仿例3的推理得：不同的分配方案共有

評析， 凡“所有元素兩兩相同的排列組合應用問題（也叫名額分配問題）”，都可以用“隔闆法”。

三、其中某幾個元素排列順序固定的排列組合應用問題

例5，牆壁上挂着8個氣球（如下圖），一個神槍手每次選擇一列最下方的一個球射擊（假設每次射擊必中），則将氣球全部擊完的方式有多少種？

分析與解：逆向思維如下，設左邊３個球由下到上依次是a1，a2，a3 ；中間２個球由下到上依次是 b1，b2；右邊３個球由下到上依次是 c1，c2，c3．假設将氣球全部擊完的一種方式是 b1，c1，c2，a1，b2，c3，a2，a3，這一方式可看成是将這８個元素進行全排列，且 a1，a2，a3；b1，b2 ；c1，c2，c3 分别按照由左到右的固定順序排列．所以将氣球全部擊完的方式有

例6，一隻蜘蛛早晨起床給它的8隻腳穿上襪子和鞋，每隻腳先穿襪子後穿鞋, 那麼不同穿法種數是多少（隻需列式）？

分析與解： 逆向思維如下：用

分别表示蜘蛛早晨起床穿上的第 i 隻腳上的襪子和鞋．假設一隻蜘蛛早晨起床給它的8隻腳穿上襪子和鞋的某一種穿法是：

這一穿法可看成16個元素進行全排列且

按照固定順序排列得到的，所以不同穿法種數

評析: 凡“其中某幾個元素排列順序固定的排列組合應用問題”，都可以用“等機率法”。

四、可化歸為以上３種問題的排列組合綜合應用問題

例7，某民航站設有A,B,C,D共4個“安檢”入口，每個入口每次隻能進1個旅客，一個小組4人進站的不同方案種數是多少？

分析與解：逆向思維如下，４名旅客用p，q，r，s表示．假設一個小組4人進站的某一方案是：Ａ“安檢”入口無人通過；Ｂ“安檢”入口由q，p依次通過；Ｃ“安檢”入口r通過；Ｄ“安檢”入口s通過，這一方案可看成先将４個名額分配到A,B,C,D這4個“安檢”入口（相當于求方程 x1 x2 x3 x4 = 4 非負整數解的個數），再将p，q，r，s這４人進行全排列後按照分配到４個“安檢”入口的名額依次進站，所以一個小組4人進站的不同方案種數

例8, 10個相同的小球放入編号為１,2,3的三個盒子内，若每個盒子内的球數不小于它的編号數，則有多少種不同的放法？

分析與解:逆向思維如下,先将編号為1,2,3的盒子内分别放入0,1,2個小球, 這時剩下7個小球放入編号為１,2,3的三個盒子内使得每個盒子内至少1個小球（相當于求方程x1 x2 x3 = 7 正整數解的個數），所以不同的放法

例9, 用1，2，3三個數字排成一個四位數，每個數字都排上，所得四位數的個數是多少？

分析與解: 逆向思維如下,假設所得四位數是2313 ，這個數可以看成是23 13（3 ,3 這2個元素的順序固定），

所以所得四位數的個數為

例10, 某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單,開演前又增加了2個新節目,如果将這2個插入原節目單中,那麼不同的插法種數是多少？

分析與解:逆向思維如下,用a，b，c，d，e表示原來的5個節目，用p，q表示插入的2個新節目．假設将這2個插入原節目單中的某排列是：a，b，p，c，d，q，e或a，p，q，b，c，d，e，這可看成2個新節目在7個位子上選2個位子排列得到的（其餘５個位子上依次排原來的５個節目），故不同的插法種數是

例11, 某大樓從一樓到二樓共有10級台級,上樓梯可以一步上1級,也可以一步上2級,規定從一樓到二樓用8步走完,則上樓的不同方法有多少種？

A.45; B.36; C.28; D.25。

分析與解：逆向思維如下，假設從第1步到第8步所上的台階級數分别是：1，2，1，1，2，1，1，1，這可看成8步中隻有2步跨2級，其餘每步跨1級，故上樓的不同方法有

故選C．

例12, 在連續7次射擊中,命中目标4次,未命中的3次中,恰有2次連續未命中的情形有多少種？

分析與解: 逆向思維如下,假設恰有2次連續未命中的某個情形是：１１００１０１（“１”表示命中，“0”表示未命中），這可以看成從已命中的４個“１”形成的５個空隙中選２個空隙插入“００” 和“０”，所以恰有連續2次未命中的情形有

總之，排列組合解題中的“逆向思維”實質上是“執果索因”的分析方法，它使可用“插空法”，“隔闆法”，“等幾率法”來解的一系列排列組合問題有了統一思維方法，并且可以提高我們的抽象思維能力。

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