一篇文章搞定矩陣知識點，出題方向，解題技巧

——第一篇 特殊矩陣的定義與簡要性質

剛剛進行完行列式的回顧，現在矩陣的知識來襲。所以首先應該說明兩者的區别防止混淆：

1. 矩陣就是一個集合，理解為一個有序數表。而行列式是按某種法則運算後的數字。

2. 行列式中元素的排布都是n×n的，而矩陣不一定，n×n的矩陣稱為方陣。

3. 方陣是一種特殊的矩陣，有其特殊的定義，比如方陣的迹（主對角線元素之和）

其實二者還是有一些有趣的聯系的，比如行列式是由n元線性方程組而提出，矩陣是由線性齊式集合組而提出的，二者十分相似。

其實矩陣的提出也是為了簡便運算，如下圖：在此處将系數記作矩陣A，分别賦予X,Y圖二的定義，就得到了Y=AX。就能把複雜的齊次集合組簡便化，比如現在已知等号左側縱列y的值，我們就能把求所有的x這個問題轉化為矩陣運算Y=AX中求X的問題大大簡化問題的複雜性。好了，說完了矩陣的産生由來，下面進入正題：

考慮到矩陣這一章節的概念和定義繁雜，容易記錯，所以下面先将其羅列清楚，以便後續做題時不會犯渾：

一，非退化（奇異）的矩陣：若矩陣A的行列式

≠0 (切記隻有方陣的行列式才能記作detA或Δ），則稱這個矩陣為非退化（奇異）的矩陣，反之則為退化（奇異）的矩陣。

二，逆矩陣：（注意了，非退化的方陣才有逆矩陣。并不是行列式不等于零就行了，必須是方陣）A的逆矩陣記作A-1,是由原線性齊次式中x,y互換位置所産生的新系數方陣得到的，如下圖所示

現在記新的系數陣為B，則有X=BY，結合上述的Y=AX，不難算出AB=BA=E，此時就記方陣B為A的逆矩陣，記作A-1，所以同樣有A×A-1=E。除此之外，我們看出來逆矩陣隻不過是原集合組的等價集合組的系數罷了，所以其隻能有一個，這就很容易得出一條性質：可逆方陣的逆矩陣是唯一的。

三，單位陣以及其遞推由來：我們可以把這一系列的矩陣串起來，感受一下單位陣是怎樣被一步步限制出來的。（另外補充對角矩陣可以用diag（A）表示）

四，轉置矩陣：（不要求矩陣為方陣）将矩陣的行與列互換而不改變其序數便得到其轉置矩陣，記作AT，很容易看出（AT）T=A。

五，對稱（反對稱）矩陣：其實就是方陣中的元素關于主對角線或輔對角線對稱，用數學語言描述就是AT=A（反對稱矩陣是-A）。關于對稱矩陣有以下命題：

1. 對稱矩陣的和差均為對稱矩陣

2. 對稱矩陣的乘積不一定為對稱矩陣

3. 充要條件是AB=BA

4. 任意n階方陣都能表示為一個對稱矩陣和一個飯對稱矩陣的和，證明見下圖：

六，伴随矩陣，這個矩陣是用代數餘子式定義出來的一個矩陣，原矩陣裡每一個元素被替換成了其所對應的代數餘子式後再做一次轉置運算後得到的，記作A*。如下圖所示：

伴随矩陣最重要的公式莫過于A*=A-1和A*A=AA*=E

七，矩陣的秩，如果矩陣的所有k≥r 1階子式等于零，而在k≤r的各階子式中都有非零子式，則稱r為矩陣的秩。可以記作rank(A)或者R（A），關于這一方面的知識點很多，我們放到下一篇文章裡講。

八，初等陣：由單位陣經一次初等變換得到的方陣，而初等變換分為以下三種：

1.互換兩行或列，

2.某一行或列同時乘以常數K

3.常數k乘以某一行或列後加到其他行或列上去。

這篇文章将矩陣之一塊的所有定義進行了總結，隻有這一塊熟悉了才能讀懂題，其中有許多小的細節值得注意，大家千萬不要忽視這一節喲。下面将會詳細的列舉所有特征矩陣的性質并賦予解釋，最後給出矩陣這一塊能考到的題型和解題方法。敬請期待吧！

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