向量的概念我們再熟悉不過了，他們在不同人眼中是不一樣的

學物理的人認為，向量是空間裡面的箭頭，決定一個向量的是它的方向和長度，如果兩個向量這兩個特征相同，那麼你可以在空間中任意移動

• 二維向量
• 三維向量

學計算機的人認為，向量是有序的數字列表，試圖通過一組數字（順序不可颠倒）去描述（專業叫建模）描述某個對象

對于學數學的人，他們覺得向量可以是任何東西，隻要保證兩個向量相加以及數字與向量相乘是有意義的即可

可以看出為什麼從數學的角度看，向量是相當抽象的，這也是為什麼我們無法學好線性代數的本質原因，而且向量相加和數乘也貫穿了線性代數這門學科的始終、

在線性代數中，我們的向量是一個以坐标原點為起點的箭頭（下面的是二維直角坐标系，三維，更高維也是這樣）

我們經常會見到線性代數中用\begin{pmatrix} -2\\ 3\end{pmatrix}(−23)這樣的形式表示向量，這一對數表示了如何從原點（向量起點）到達尖端（向量終點）

• -2表示從原點開始沿着平行于X軸的負方向移動兩個單位
• 3表示從上一位置開始沿着平行于Y軸的正方向移動兩個單位

每一對數給出了唯一的一個向量，而每一個向量又恰好對應唯一一對數

當然我們處于三維世界，也是如此，會多一個z軸，這樣的話每一向量就會與一個三元數組對應，比如\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\end{pmatrix}⎝⎛​213​⎠⎞​

• 2表示從原點開始沿着平行于X軸的正方向移動兩個單位
• 1表示從上一位置開始沿着平行于Y軸的正方向移動一個單位
• 3表示從上一位置開始沿着平行于Z軸的正方向移動三個單位

我們都很熟悉向量加法的規則：\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}(12​) \begin{pmatrix} 3\\ -1\end{pmatrix}(3−1​)=\begin{pmatrix} 4\\ 1\end{pmatrix}(41​)

但為什麼要這樣運算，很多人卻解釋不清楚，不過通過幾何角度會非常容易理解。首先\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}(12​)和\begin{pmatrix} 3\\ -1\end{pmatrix}(3−1​)這兩個向量在坐标系中表示如下

向量加法相信大家高中就學習過了：移動第二個向量，使其起點移動到第一個向量的末尾，然後連線即可

向量加法為什麼一定是這樣呢？其實向量從某種方面來講，揭示的是一種運動趨勢，運動無非就是方向和距離嘛，所以大家可以看到最終向量的和就是最終的運動趨勢。

這一點其實在我們初中學習數軸時就深有體會了，我們知道2 5=7，你可以理解為先移動2步，再移動5步

我們把這種觀點運用到剛才的向量加法，兩個向量相加最終得到了一個新的向量，它一共包括四步：先向右移動1步，再向上移動2步，再向右移動3步，再向下移動1步

所以這就是向量加法的本質

2·\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}(12​)=\begin{pmatrix} 2\\ 4\end{pmatrix}(24​)就是向量的數乘運算

比如2\overline v2v就是表示把\overline vv正向延長為原來的2倍

\frac{1}{3} \overline v31​v就是表示把\overline vv正向縮短為原來的\frac{1}{3}31​

而-1.8\overline v−1.8v就是表示把\overline vv反向延長為原來的1.8倍

對于一個向量，對其進行延長2倍等于把它的每個分量都乘以2，也即2·\begin{pmatrix} 1\\ 3\end{pmatrix}(13​)=\begin{pmatrix} 1×2\\ 3×2\end{pmatrix}(1×23×2​) =\begin{pmatrix} 2\\ 6\end{pmatrix}(26​)

到這裡向量，就基本介紹完畢了，大家一定要深刻理解，線性代數本質就是向量，而向量既可以用箭頭表示也可以用有序數組表示，這些花裡胡哨的表示方式并不是為了好看，實際是為了方便我們用數字操控空間，用空間表示數字等等

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