重劍無鋒，大巧不工，靠旋轉變換基本功解中心未定難題

旋轉變換三要素，旋轉中心、旋轉角和旋轉方向。其中旋轉方向隻有兩個：順時針或逆時針，而旋轉中心和旋轉角一般不可少，否則無從作出旋轉圖形。而恰恰有這麼一道二次函數綜合題，涉及到的旋轉中，居然連旋轉中心都不确定，這下子難倒了一片學生，圖都作不出來，如何能解呢？

題目

如圖，直線y=1/2x 2與x軸交于點A，與y軸交于點B，抛物線y=-1/2x² bx c經過A，B兩點，與x軸的另一交點為C。

(1)求抛物線的解析式；

(2)直線AB上方抛物線上的點D，使得∠DBA=2∠BAC，求D點的坐标；

(3)M是平面内一點，将△BOC繞點M逆時針旋轉90°後，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的兩個頂點恰好落在抛物線上，求點B1的坐标。

解析：

(1)傳統啟手式，求二次函數解析式，先根據直線解析式求得點A和點B坐标，分别為A(-4,0)和B(0,2)，分别代入即可求得b=-3/2，c=2，于是解析式為y=-1/2x²-3/2x 2；

(2)通常情況下，遇到一個角是另一個角兩倍的條件，我們把較大角的角平分線作出來，或者将較小的角加倍，均能構造出等量關系。

方法一：作∠DBA的角平分線，與抛物線交于點E，如下圖：

∠EBA=∠BAO，它們恰好是一對内錯角，于是得到BE∥x軸，此時的BE，作為角平分線，還有另外一重身份，即∠DBA的對稱軸，再換個說法，BD所在直線與直線AB關于BE軸對稱。而直線AB解析式是已知的，于是可以迅速得到直線BD的解析式為y=-1/2x 2，沒有學習過這種一次函數直線性質的同學，多費點功夫也行，過點D作BE和垂線，利用三角函數同樣可得到直線BD的斜率k。

接下來，聯立直線BD與抛物線即可求得點D坐标為(-2,3)；

方法二：作點B關于x軸的對稱點B'，連接AB'，如下圖：

我們同樣得到一對内錯角，∠DBA=∠BAB'，于是BD∥AB'，而在Rt△AOB'中，直線AB'的斜率更容易求了，因此，得到它的解析式為y=-1/2x-2，從而得到直線BD的解析式為y=-1/2x 2，接下來的步驟與方法一相同，最後點D(-2,3)；

(3)幾乎所有人在面對将△BOC繞點M逆時針旋轉90°時，都感到無從下筆，因為點M為平面内一點，并不知道在哪裡，思路就此陷入困境。

如何破解？還是要從旋轉變換最基本的性質回想，既然是旋轉90°，根據旋轉前後圖形的位置，可判斷對應邊之間的位置關系，OB原本是與y軸重合，逆時針旋轉90°後，無論旋轉中心在哪裡，旋轉後的O1B1一定與OB垂直，同理，另外兩組對應邊也與原邊所在直線垂直。我們可以假定某一個點為旋轉中心來驗證，例如繞點B旋轉，如下圖：

經過觀察，旋轉後的O1B1∥x軸，而O1C1∥y軸，B1C1⊥BC，而且，任意點為旋轉中心，均不改變上述位置關系。現在可以将旋轉後的△O1B1C1任意放在平面内了，而它有兩個頂點在抛物線上，怎麼理解呢？我們知道抛物線上沒有兩點橫坐标相同，于是首先排除O1和C1在抛物線上這種情況，剩下B1，C1和O1，B1兩種情況如下圖：

左圖中，點B1和C1的坐标之間，橫坐标相差2，縱坐标相差1，且它們均在直線y=1/2x 2上，于是設B1橫坐标為m，則C1橫坐标為m 2，分别代入抛物線解析式中求出縱坐标，B1縱坐标為-1/2m²-3/2m 2，C1縱坐标為-1/2(m 2)²-3/2(m 2) 2，它們相差1，得方程1/2m²-3/2m 2 1=-1/2(m 2)²-3/2(m 2) 2，解得m=-3，于是B1(-3,2)；

右圖中，點B1和O1都在抛物線上，它們關于抛物線對稱軸x=-3/2對稱，且分别距離對稱軸1個單位，因此點B1橫坐标為-5/2，于是B1(-5/2,21/8)。

解題反思：

在武俠小說中，練武無不講求根基牢固，一柄無鋒重劍，在高手使來，仍是利器，看似平淡無奇的招式，蘊藏無窮威力。學習旋轉變換的過程中，對旋轉前後的數量關系研究較多，運用也較多，而對位置關系相對薄弱，本題恰恰選擇的是特殊旋轉角90°，因此必然會出現旋轉前後對應邊垂直的情況，對于垂直這種位置關系，如果沒有垂足，則多數學生會感到“缺根筋”，而事實上，線段垂直，多是指它們所在直線垂直，在概念學習中如果忽視了這一點，難免在解本題時無所适從。因此，平時的課堂學習，尤其是概念學習，一定要理解透徹，不可滿足表面現象，略懂=不懂。

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