在中考試卷中，有一類相似與三角函數相結合的大題，最後算比值或某個角的三角函數值，這類題的解題通法是:設參數，把相關線段用參數表示出來，通過相似(或勾股定理)列方程，最終求出比值.

【題目呈現】

1.在△ABC中，∠ABC=90°

(1)如圖1，分别過A、C兩點作經過點B的直線的垂線，垂足分别為M、N，求證:△ABM∽△BCN;

(2)如圖2，P是BC上一點，∠BAP=∠C，tan∠PAC=2√5/5，求tanC的值;

(3)如圖3，D是邊CA延長線上一點，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=3/5，AD/AC=2/5，直接寫出tan∠CEB的值.

【分析】(1)圖1是典型的一線三垂直(一線三等角)模型，同學們不難證出結論，我要說的重點是後邊的兩問，同學們切記中考時，大題的連續幾問往往環環相扣，層層遞進，有了第(1)問的結論，及一線三垂直模型，後續的兩問就有了思路或方法，倘若單獨給出第(2)問則問題較難，基于此，我們看第(2)問如何處理.

(2)由于第(1)問中用到了一線三垂直模型，此問中應構造一線三垂直模型，如下圖:

過點P作PM⊥AP，交AC于M，過點M作MN⊥PC，N為垂足，則一線三垂直模型已構造完成.易證△PMN∽△APB，∴PN/AB=PM/AP=tan∠PAC=2√5/5，設PN=2t，則AB=√5t，∵∠BAP ∠APB=∠MPC ∠APB=90°，∠BAP=∠C，∴∠MPC=∠C，∴CN=PN=2t，表示出相關線段之後，接下來需要列方程求t，易得△ABP∽△CBA，∴AB²=BP×BC，∴(√5t)²=BP×(BP 4t)，∴BP=t，∴BC=5t，∴tanC=AB/BC=√5t/5t=√5/5.

(3)由于AE=AB，我們想到等腰三角形三線合一的性質，過點A作AG⊥BE于M，過點C作CN⊥BE交EB的延長線于點N，構造出一線三垂直模型，如下圖:

在Rt△ABC中，由于sin∠BAC=3/5，∴tan∠BAC=BC/AB=3/4，由于∠DEB=90°，∴CN∥AM∥DE，∴MN/EM=AC/AD=5/2，同(1)的方法得，△ABM∽△BCN，∴BM/CN=AM/BN=AB/BC=4/3，那麼設BM=4m，CN=3m，AM=4n，BN=3n，∴MN=BM BN=4m 3n，∵AB=AE，AM⊥BE，∴EM=BM=4m，∴MN/EM=(4m 3n)/4m=5/2，解得，n=2m，∴EN=EM MN=4m 4m 3n=14m，在Rt△CEN中，tan∠CEB=CN/EN=3/14.

【小結】求三角函數值或某兩條線段的比值，往往設參引進未知數(參數可引進一個或兩個)，依據條件用未知數表示出相關量，再通過相似或勾股定理列方程，求出未知數，從而得出解答.

2.已知四邊形ABCD的一組對邊AD，BC的延長線相交于點E.

(1)如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證:ED×EA=EC×EB;

(2)如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=3/5，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積;

(3)如圖3，另一組對邊AB，DC的延長線相交于點F，若cos∠ABC=cos∠ADC=3/5，CD=5，CF=ED=n，直接寫出AD的長(用含n的式子表示).

【分析】本題實質上是一個雙直角模型問題，(1)要證ED×EA=EC×EB，化為比例式ED/EC=EB/EA，通過三點定型确定△EDC∽△EBA，從而不難解決.

(2)已知∠ABC=120°這一特殊角，又cos∠ADC=3/5，CD=5，AB=12，一方面想到在直角三角形中，利用三角函數，另一方面要利用∠ABC=120°這一特殊角，從而引出輔助線CF⊥AE于F，AG⊥EB，交EB的延長線于G，構成了與(1)相同的雙直角模型，與(1)的思路一脈相承，如下圖:

易得DF=cos∠FDC×CD=3/5×5=3，又得CF=4，利用S△CDE=1/2×ED×CF=6，求得ED=3，則EF=6，在Rt△AGB中，因AB=12，易得BG=1/2×AB=6，AG=6√3，利用(1)中思路，得△EFC∽△EGA，得EF/EG=CF/AG，從而求得EG=9√3，則S四邊形ABCD=S△AGE一S△CDE一S△AGB=1/2×AG×EG一6一1/2×AG×BG=1/2×6√3×9√3一6一1/2×6√3×6=75一18√3.

(3)依據前兩問的思路，構造雙直角模型，作CH⊥AD于H，AG⊥DF于G，如下圖:

則CH=4，DH=3，EH=n 3，∴tan∠ADG=AG/DG=CH/DH=3/4，設AD=5a，則DG=3a，AG=4a，∴FG=FD一DG=5 n一3a，易知∠E=∠F，△AFG∽△CEH，∴AG/CH=FG/EH，∴4a/4=(5 n一3a)/(n 3)，解得，a=(n 5)/(n 6)，∴AD=5(n 5)/(n 6).

【總結】抓住模型，層層遞進，引進參數，列出方程，解答問題。

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