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魔方的發展與競速複原體系

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編者按：魔方，又叫魯比克方塊（Rubik's Cube），最早是由匈牙利布達佩斯建築學院雕塑學教授魯比克·艾爾諾（Rubik Ernő）于1974年發明的機械益智玩具。魔方與中國的華容道、法國的獨立鑽石棋被稱為“智力遊戲界的三大不可思議”。本期我們邀請到清華大學學生魔方社為大家分享魔方的有趣知識。任何一個細分領域，都集聚着人類的最高智慧。希望大家看完不要“方”，也希望大家能夠找到自己的消遣方式，在自己感興趣的領域享受生活，而不是“卷”哦。

2021年6月5日，湖北武漢，許瑞航——一名來自浙江的少年——飛速轉動着手中的魔方。眨眼間，雜亂的色塊紛紛歸位。當他拍停計時器的那一刻，顯示器上的時間定格在4秒06。這是他在本輪比賽中的第四次複原。5秒48的平均成績提前宣告了由外國選手壟斷二十年的三階魔方速擰平均（五次去頭尾）世界紀錄的落幕。

許瑞航4.06秒複原三階魔方

中國選手首次打破三階魔方平均世界紀錄的消息也沖出了相對小衆的“魔方圈”，人民日報的報道讓此話題一度沖到熱搜第二名，魔方也再次進入大衆視野。不少網友都回憶起自己童年時玩魔方“從入門到放棄”的美好回憶，有人提起了《最強大腦》節目中的盲擰魔方比拼，也有不少網友稱“複原魔方就是重複一個套路”。這個小小的方塊有何魔力？競速魔方運動的選手是如何複原魔方的？盲擰魔方又遵循怎樣的原理呢？

《挑戰不可能之加油中國》節目片段，2019年2月4日播出，圖源央視節目官網

發明與發展

1970年，第一款魔方在拉瑞·尼科爾斯（Larry Nichols）手中誕生，那時的魔方是一個2×2×2的小立方體。幾年後，匈牙利建築學、雕塑學教授魯比克·艾爾諾（Rubik Ernő）為了幫助學生們認識空間立方體的組成和結構，動手做出了第一個魔方的雛形，稱為Rubik's Cube。自此，魔方世界的大門被打開，四五六七等高階魔方随着制作工藝的提升不斷出現，SQ1、斜轉、金字塔、五魔方等異型魔方紛紛被發明，彈力調節、磁力歸位等競速科技也頻頻湧現。

如今發展成熟的三階魔方由一個十字中軸為核心，在六個中心塊的周圍鑲嵌了12個棱塊和8個角塊，并擁有紅-橙、藍-綠、黃-白的标準配色。

三階魔方的結構

N×N×N魔方統稱為正階魔方，其中奇數階魔方結構大緻與三階相同，偶數階魔方因為沒有中心塊，無法安裝十字軸，而多數采用中心球來固定。當魔方的階數高于七階時，轉動中角塊伸出面外越來越多，為了防止角塊滑落，需要将魔方做成面包形來加強牢固性。

面包型的七階魔方

至于五花八門的異型魔方，其結構有些與三階相似，擁有六向的中心軸，稱為六軸魔方，譬如粽子魔方、鏡面魔方；有的與三階不同，如金字塔魔方是四軸魔方，五魔方是十二軸魔方等等。由于異型魔方的一個小塊往往不是正方體，甚至可能是弧形、星形，他們轉動後形成的形狀千變萬化，也因此獲得了許多形象的名字，如風火輪、直升機等。

各式各樣的魔方：從上至下、從左至右依次為斜轉魔方、鏡面魔方、三階魔方、五魔方、粽子魔方、二階魔方、四階魔方、五階魔方、SQ1魔方、直升機魔方、金字塔魔方

在魔方誕生後的數十年内，它的魅力吸引了越來越多的人投身其中。2003年，世界魔方協會（WCA）成立，為國際性的魔方比賽提供正規的渠道、統一的規則，并記錄所有選手的成績以及世界排名。在WCA的官方賽程中，收錄了十七個比賽項目，其中二至七階魔方速擰為用雙手複原相應階數的正階魔方、三階單手項目中選手隻能用一隻手複原魔方、三階至五階魔方盲擰要求記憶魔方的打亂狀态後戴上眼罩複原魔方、三階多個盲擰項目要記憶不少于2個三階魔方後戴上眼罩複原魔方、最少步項目則要在60分鐘内找出對于給定三階魔方打亂狀态的步數盡可能少的複原解法、此外還有魔表、五魔方、SQ1、斜轉、金字塔等異型魔方競速項目，各個項目的紀錄往往都令人瞠目結舌。

世界魔方協會認證的各項世界紀錄

1982年，第一屆世界魔方錦标賽在匈牙利布達佩斯舉行。四十年前的那時，三階魔方速擰的紀錄被定格在22秒95，與如今杜宇生創下的3秒47的時間紀錄相差了近六倍，甚至不及如今盲擰一個三階魔方或是複原一個四階魔方所需的時間。這樣驚人的突破歸功于一代代魔方愛好者們的研究、創新與總結，他們為解決魔方還原問題提供了多種多樣的思路。

二、還原魔方：速擰解法

1974年，Rubik教授在發明了魔方後便開始探尋還原它的方法。他采取的是最直觀的角先法（CF法），即先歸位八個角塊再複原棱塊，但那時的他并沒有給出魔方還原的系統通解。

當我們第一次拿到一個打亂的魔方時，我們着手還原的第一步往往是嘗試還原一個“面”，如九個白色色塊。而事實上，我們應該在将這九個塊歸位的同時使他們的側邊也恰好相連，還原一“層”，這就是最基礎的還原方法之一——層先法（LBL法）。層先法将魔方的還原拆分成了七個步驟：底棱歸位、底角歸位、中棱歸位、頂棱翻色、頂角翻色、頂角歸位、頂棱歸位。其中前兩個步驟可以通過自己的摸索輕易地學會，而之後的過程由于不能破壞已複原的部分，需要有一些特定的公式來幫助還原。層先法最大的優點就是将許多不同的情況歸納、簡化，隻需要不到十個公式就能将各種情況的魔方複原，對新手來說是一個很好的選擇。

層先法的複原思路

在層先法的基礎上，Jessica Fridrich教授等人發明了著名的CFOP解法。他們将底角歸位與中棱歸位、頂棱翻色與頂角翻色、頂角歸位與頂棱歸位分别融合，成為底層十字（Cross）、前兩層（First 2 Layers）、頂層色向（Orientation of Last Layer）、頂層位置（Permutation of Last Layer）四個步驟，并經過後人的改進、總結，對後三步的每一種情況都有了确切的公式，共計41 57 21=119條公式。雖然公式看似數量龐大，但經過一段時間的手法練習就可以熟練掌握，輕松實現30秒以内複原魔方。

CFOP法的複原思路

為了進一步縮短還原時間，人們還開發了許多黑科技。譬如，人們已經知道任何Cross都可以在7步之内完成，但有時轉動非常不順暢。相較于大多數選手通常習慣的隻以白色作為底面複原，曾多年霸榜幾乎所有魔方項目世界紀錄的Feliks Zemdegs就開發了“顔色中立”的“特殊技能”，即可以快速觀察六面，從中選出最簡單的一面為底，這使得他有更高的概率用更少的步驟複原魔方。另一個打破多次世界紀錄的選手Mats Valk則發明了“強制跳O”技術——Valk’s Last Slot（VLS），可以在完成F2L（前兩層）的同時通過預判直接讓頂面顔色複原。此外還有将OLL（頂面色向）和PLL（頂層位置）合并成擁有497條公式的ZBLL複原體系，利用強大的公式記憶縮短用時；将公式練習成可以在前後左右四面完成前兩層的手法（四向F2L）以減少魔方在手中轉體的時間，等等許多強大的手法，而掌握這些技巧的選手能夠讓自己的成績得到進一步的提高。

CFOP解法的119條基礎公式

除了最廣為人知的層先法複原體系，三階魔方的還原還有Gilles Roux發明的橋式解法（Roux），“橋”是指左右兩個1×2×3的長方形，将橋複原後把它們固定在手中，隻需要轉中層、頂層和右層，無需轉體也可以将魔方還原。還有Zbigniew Zborowski發明的ZZ法，這種方法隻需要轉動左、上、右三層，同樣地無需轉體就可以實現魔方的複原，但步驟較多。由于其轉動的特性，這種方法是完成單手還原的不錯的選擇，因為單手還原時往往使用左手，食指撥頂層和左層、小拇指撥右層，這三層的轉動最為方便快捷。

橋式解法的複原思路

對于更高階的魔方，處理則是将它們通過降階轉化為三階的樣式，但每高一階，工作量都是幾何級數般的上升，曾有人還原19階魔方，用了5小時23分鐘才完成，是還原三階魔方世界紀錄的5585倍。而二階魔方采用的方法是面先法（EG法），即先還原一個面，再用一個公式複原整個魔方。一些頂尖選手在實力和運氣的雙重加持下已将二階魔方的單次世界紀錄突破進了0.5秒的大關。至于各式各樣的異型魔方，其中有許多可以用類似正階的方法解決，比如粽子、五魔方、鏡面，但另一些，尤其是四軸的魔方，其解法則與正階有很大不同，比如看起來是正方體的SQ1和斜轉魔方。

四階魔方的一種複原思路

另一條賽道：盲擰

除了速擰，盲擰也是魔方比賽的熱門項目，在《最強大腦》節目上，多名中國魔方選手曾展示過帶上眼罩盲擰魔方，技驚四座。人們很難想象他們是如何在十幾秒鐘内記下紛亂的顔色，又蒙上雙眼後在十幾秒内“噼裡啪啦”複原魔方的。

清華大學學生魔方社社長甯照軒盲擰複原魔方

事實上，盲擰魔方和速擰魔方完全是兩套不同的體系，速擰的過程中選手可以看到眼前的魔方狀态，每一秒都可以根據當前的狀态選取接下來的複原操作；但在盲擰過程中，選手隻能記憶魔方的初始狀态，如果遵循速擰的方法，是無法在短時間内想象出每一步轉動後魔方的狀态的。

為了解決這樣的問題，魔方選手們設計出了一種先将魔方編碼、再根據編碼排列一些特定的公式來複原魔方的體系。在此體系中，選手們隻需根據魔方的打亂狀态為角塊和棱塊的位置進行編碼并記憶，再在複原過程中運用隻改變某幾個方塊位置的操作依次複原整個魔方。

盲擰方法中一種對魔方各色塊的編碼方式

三階盲擰的方法有許多種類，常見的有8 18、M2OP、OP、M2R2、四步法等，其中，最廣為盲擰高手使用的是彳亍法，得名于最早提出此方法的中國魔方選手。此方法主要分為兩步：複原棱塊的位置和複原角塊的位置，此外，有時還需要進行“奇偶校驗”。

不論魔方如何被打亂，其8個角塊和12個棱塊實際上隻是做了位置上的重新排列，也就是置換。比如如下打亂狀态的魔方， “黃藍橙”角塊被排列到了“藍白橙”角塊原本的位置，而“黃綠紅”角塊位于正确的位置；“白橙”棱塊被排列到了“黃紅”的位置，“綠紅”棱塊則在“黃綠”棱塊原本的位置。

魔方打亂狀态示意圖

如果我們将原本位于某個位置的角塊打亂後的位置讀出來，并排成一個表，那麼這個表就是一個置換的書面寫法。此打亂的角塊可以寫為：

我們可以發現位于“黃橙綠”位置的角塊為“白藍紅”，位于“白藍紅”位置的角塊為“紅藍黃”，位于“紅藍黃”位置的角塊為“白橙藍”，位于“白橙藍”的角塊為“藍橙黃”，位于“藍橙黃”位置的角塊為“綠橙白”，位于“綠橙白”位置的角塊為“橙綠黃”，回到了初始的“黃橙綠”，隻是色向發生了旋轉。這個還原過程就像一個循環，被稱為輪換。而輪換直接給出了我們需要執行的操作。相應地，我們也能得出棱塊的輪換。

在記憶輪換後，即可按照輪換中的順序來調整角塊與棱塊的位置。由于不存在隻交換兩個棱塊或角塊的操作，基本的調整位置公式為三個角塊輪換、三個棱塊輪換，它們都是最簡單的非平凡偶置換（等價于偶數次對換）。因此我們還需要同時調整兩個角塊與兩個棱塊位置的公式來解決角和棱的奇置換情況，即奇偶校驗。這些公式的實例如下。

三個角塊輪換、三個棱塊輪換和同時對換兩個角塊與兩個棱塊的例子

根據輪換中的順序，我們可以用多個三輪換公式來複原魔方。例如在前述打亂中，可以先操作“黃橙綠”->“白藍紅”->“紅藍黃”->“黃橙綠”的角塊三輪換，此時“白藍紅”和“紅藍黃”角塊均歸位，原本位于“紅藍黃”位置的“白橙藍”角塊被交換至“黃橙綠”位置。接下來再操作“黃橙綠”->“白橙藍”->“藍橙黃”->“黃橙綠”的角塊三輪換即可歸位“白橙藍”和“藍橙黃”角塊。此時“黃橙綠”位置的角塊為“綠橙白”，而“綠橙白”位置的角塊為“橙綠黃”。這說明角塊的置換是一個奇置換。與此同時，棱塊的置換也一定是一個奇置換，因為魔方整體的打亂一定是一個偶置換。這時隻需保留最終的角塊對換，待棱塊複原至剩餘一個對換後，進行一個同時對換一對角塊與一對棱塊的操作即可。大多數對換和輪換的公式都是基于數學和抽象代數中群論領域中交換子的想法生成的，步驟多在8～10步左右。

維基百科“群論”詞條的示例圖即為魔方

同樣地，更高階的魔方理論上也可以實現盲擰，但那對選手的記憶力是極大的考驗。中國選手林恺俊在2019年就曾以2分39秒12的總成績打破了五階魔方盲擰的世界紀錄，目前該成績仍居世界第二。在追求盲擰魔方的“大”以外，還有一些選手癡迷于盲擰多個魔方。世界上最厲害的選手曾在一小時内先記憶60個三階魔方的狀态，再戴上眼罩複原并完成了其中59個。

美國選手Graham Siggins打破盲擰多個魔方的世界紀錄現場

結語

相信通過本文簡單的介紹，讀者朋友們能對競速魔方運動的方法有基礎的認識，在觀看競速魔方運動時能夠基本了解選手是如何複原魔方的。具體的複原方法和公式可以在互聯網上搜索本文中提到的關鍵字查詢到。但魔方的魅力也遠不止于此，正六面體以外的各種各樣千奇百怪的魔方都有着其獨特的破解方法，并且有着美妙的數學規律。

如果你喜歡挑戰極限，可以嘗試在不借助計算機的輔助下用盡可能少的步數複原一個打亂的三階魔方。人們已經證明了任何打亂狀态的三階魔方最多隻需要20次轉動即可複原，這被稱為三階魔方的上帝之數。目前的魔方選手已經逐漸開始學習用更數學的方式思考，逼近這個極限，這也是魔方比賽中一個難度相當大的項目——最少步。

魔方，這個有着純粹而美麗的數學屬性的小小立方體，承載着無數人對速度的渴望和對人腦極限的挑戰。随着競速魔方運動的發展與推廣，希望有更多人能夠體會魔方的樂趣。

社團簡介

魔方社

清華大學學生魔方社成立于2019年，緻力于為校内魔方愛好者提供交流平台，整合優秀魔方資源，組織參加競速魔方賽事，向全校師生展示魔方的魅力。曾獲2020-2021學年清華大學學生社團優秀風采獎（新社團）。

圖為清華大學學生魔方社社員慶祝校慶110周年制作的魔方拼圖

社團平日會舉行魔方教學和交流活動，清華“魔友”們齊聚一堂上演指尖的“速度與激情”。此外還組織社員參加世界魔方協會賽事，2021年，工物系孫納川同學獲世界魔方協會北京春季賽魔表項目亞軍、廣東公開賽魔表項目亞軍，電子系張雲柯同學獲世界魔方協會天津夏季賽最少步項目季軍。魔方社還計劃牽頭組織全國高校間的魔方賽事，以魔會友，促進校際交流。

圖為部分社員參加2021年世界魔方協會北京春季賽的合影

供稿 | 清華大學學生魔方社

約稿 | 惠珺

編輯 | 惠珺

排版 | 惠珺

本文經清華大學學生魔方社授權發布，如需轉載請在留言區說明

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