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數學均值不等式證明

生活更新时间:2025-01-24 09:53:17

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）1

如果存在n個正數A,B,C,D,E……,那麼就存在如下不等式

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）2

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）3

這就是著名的算術-幾何不等式，又稱作AG不等式，它在數學中非常重要，應用也很廣泛，所以大家都應該很了解它

關于這個不等式的證明有很多，但最早給出嚴格證明的是大數學家柯西，柯西的證明至今仍被稱作經典之作，下面就讓我們來欣賞

首先N=2的情況，存在如下形式，一目了然

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）4

按照上述原理讓我們依次讓N=4，就會得到如形式

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）5

接着讓N=8時的情況，

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）6

N=2^m時，就會得到如下非常巧妙的不等式

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）7

這裡的N都是等比為2的幾何級數：2,4,6,8,16,32………等等

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）8

在此假設如果n不是幾何級數，最接近n的最小的數是2^m，且r=2^m-n，接着令

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）9

那麼在n個正數A,B,C,D,E……和r個K的情況下，就會存在如下不等式，且等式右邊等于K^2m

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）10

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）11

上述等式看上去比較困惑，但非常容易理解，數學技巧也非常巧妙

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）12

然後我們整理下這個不等式，就得到了著名的算術-幾何不等式

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）13

例如：

數學均值不等式證明（數學家柯西是如何證明算術-幾何均值不等式的）14

上述的方法記載在柯西的名著《分析》一書中，證明技巧非常巧妙。

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