1. 概念抽象

奇偶性是函數的“整體性質”。 與單調性一樣，奇偶性也是把圖象的對稱性（幾何特性）轉化為代數關系，并用嚴格的符号語言表示，溝通了形與數，實現了從定性到定量的轉化．偶函數的圖象是軸對稱圖形，而且對稱軸是固定的——y軸，偶函數的判斷規則就是利用f（－x）＝f（x）表達“圖象是軸對稱圖形，對稱軸是y軸”；

類似地，奇函數的判斷規則就是利用f（－x）＝－f（x）表達“圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點”．

通過具體例子的計算、觀察取值規律，發現“當自變量取一對相反數時，相應的兩個函數值相等”，用符号抽象表示就是“函數f（x）的定義域為I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝f（x）”，由此就可以概括出偶函數的判斷規則．類比偶函數的本質，你能概括出奇函數的本質和符号表示嗎？

2.奇偶性的判定

判斷一個函數的奇偶性先看定義域是否關于原點對稱，如果定義域關于原點對稱，再看f（x）與f(-x)是否相等或互為相反數，根據定義判斷函數的奇偶性。如果定義域不是對稱的，這樣的函數一定是非奇非偶的。

通過對于函數奇偶性的研究，從中引申出三個結論：

結論一：如果一個奇函數，在x=0處有定義，則一定有f(0)=0．

因為在x=0處，要關于(0,0)對稱，又不可能同一個x對應兩個y，所以隻能是f(0)=0．

也可以根據f(-x)=-f(x)，有f(-0)=-f(0)f(0)=0．

當然，奇函數可能在x=0處無定義，如，此時不用考慮x=0的情況。隻要有定義，一定有f(0)=0．對于偶函數有這樣的結論嗎？思考一下！

結論二：既奇又偶的函數有無窮多個，這些函數的值域都為{0}．

請别忘記，定義域不同的函數就是不同的函數．如f(x)=0，x∈R；f(x)=0，x∈（-1,1）；f(x)=0，x∈[-1,1]．圖象為一個點它也是既奇又偶的函數．

結論三：已知，系數a,b,c,d,e,f∈R為常數．

⑴若f(x)是奇函數，則系數滿足b=d=f=0；

⑵若f(x)是偶函數，則系數滿足a=c=e=0．

對于一個多項式函數來說，若它是奇函數，則一定隻有奇次項，若它是偶函數，則一定隻有偶次項．

函數運算之後的奇偶性也可以直接通過定義去驗證，奇函數的和（或差）仍為奇函數，偶函數的和（或差）仍為偶函數，奇函數與偶函數的積，考慮奇函數的個數，有奇數個奇函數則為奇函數，有偶數個奇函數則為偶函數．

3.複合函數的奇偶性

複合函數的奇偶性也會由每一層的奇偶性決定，要判斷函數是奇還是偶，把x取-x，看結果前是否有負号．

對于複合函數F（x）=f（g（x））來講：

（1）如果g(x)是奇函數，即g(-x)=-g(x)，

f(x)是奇函數時，則f(g（-x）)= f(-g（x）)=-f（g(x)），

則當F(-x)=f（g(-x)）=-f（g(x)）=-F(x)，所以F(x)是奇函數；

（2）如果g(x)是奇函數，即g(-x)=-g(x)，

f(x)是偶函數時，則f(g（-x）) = f(g（x）)，

則當F(-x)=f（g(-x)）=f（g(x)）=F(x)，所以F(x)是偶函數；

（3）如果g(x)是偶函數，即g(-x)=g(x)，無論f（x）的奇偶性如何， f(g（-x）)= f(g（x）)都成立，

則當F(-x)=f（g(-x)）=f（g(x)）=F(x)，所以F(x)是偶函數；

通過上面的列舉歸納，概括出複合函數的奇偶性規律：“一偶則偶，全奇即奇”。此結論可以推廣到多層複合函數，隻要複合函數中有一層函數是偶函數，則複合函數就是偶函數，隻有複合的函數每一層都是奇函數時，則複合的函數才是奇函數。

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