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正弦餘弦定理解析

生活更新时间:2025-05-01 14:27:23

正餘弦定理是高中數學中最漂亮、最簡潔的定理之一。它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函數一般知識和平面向量等知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生産、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。

一：正弦定理

1：定義

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分别為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R，直徑為D。則有：

正弦餘弦定理解析（論正餘弦定理）1

即一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑（半徑的2倍）長度。

2：證明方法

曆史上，正弦定理的幾何推導方法豐富多彩。根據其思路特征，主要可以分為兩種。

第一種方法可以稱為 “同徑法 ”，最早為13世紀阿拉伯數學家、天文學家納綏爾丁和15世紀德國數學家雷格蒙塔努斯所采用。“同徑法 ”是将三角形兩個内角的正弦看作半徑相同的圓中的正弦線（16世紀以前，三角函數被視為線段而非比值），利用相似三角形性質得出兩者之比等于角的對邊之比。納綏爾丁同時延長兩個内角的對邊，構造半徑同時大于兩邊的圓。雷格蒙塔努斯将納綏爾丁的方法進行簡化，隻延長兩邊中的較短邊，構造半徑等于較長邊的圓。17~18世紀，中國數學家、天文學家梅文鼎和英國數學家辛普森各自獨立地簡化了“同徑法”。

18世紀初，“同徑法”又演化為“直角三角形法”，這種方法不需要選擇并作出圓的半徑，隻需要作出三角形的高線，利用直角三角形的邊角關系，即可得出正弦定理。19世紀，英國數學家伍德豪斯開始統一取R=1，相當于用比值來表示三角函數，得到今天普遍采用的 “作高法”。

第二種方法為“外接圓法”，最早為16世紀法國數學家韋達所采用。韋達沒有讨論鈍角三角形的情形，後世數學家對此作了補充。

3：推廣

正弦餘弦定理解析（論正餘弦定理）2

二：餘弦定理

1：定義

餘弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的餘弦值關系的數學定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣，勾股定理是餘弦定理的特例。

在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分别為a、b、c，則有

正弦餘弦定理解析（論正餘弦定理）3

2：證明方法

正弦餘弦定理解析（論正餘弦定理）4

無字證明：與《幾何原本》中勾股定理證明類似

以下是正餘弦定理中涉及到的一些經典題目，敬請鑒賞。

正弦餘弦定理解析（論正餘弦定理）5

正弦餘弦定理解析（論正餘弦定理）6

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