以下所有題目的原型和變式均來自上海對外經貿大學附屬松江實驗學校花園分校葛雲秀老師，涵蓋二次函數中的所有題型。

通過一個典型的二次函數，設計出以下幾類變式：求函數解析式、用字母表示出線段的長度、平分角問題、等腰或直角三角形存在性問題、角相等問題、面積比問題、平移問題、翻折問題和新定義問題。

01 二次函數背景分析

背景分析：本題中抛物線與坐标軸的交點為(3,0)和(0,3)，根據這個特殊性，可以得到∠OBA=∠BAO=45°，由于MP⊥x軸，因此可得到∠QPB=∠MPA=∠BAO=45°，同時随着點M的運動，點P和點Q也伴随運動，并且這三點的橫坐标一緻，P、Q兩點的坐标都可以用含m代數式表示。

02 求二次函數解析式、對稱軸和頂點坐标

解法分析：二次函數的解析式中有兩個系數未知，根據題目中提供的A(3,0)，點B（0,3），通過待定系數法完成求解。

03 用含m的代數式表示線段PQ的長

解法分析：通過讀題、結合圖形，可以發現點M、Q、P在同一條直線上，且直線與橫軸是垂直的位置關系，那麼直線上所有點的橫坐标相同，即m，點P在線段AB上，所以先求出線段AB所在直線解析式，可以得到點P的坐标，點Q在抛物線上，根據上一小問中求出的抛物線表達式，得到點Q的坐标，從而求出線段PQ的長。

04 二次函數與角平分線

問題1：聯結BM，當BM平分∠ABO，求點M的坐标

解法分析：在兩條直線平行的背景下，一個角的角平分線可以構造等腰三角形，在知道邊長的情況，通過列方程，求解。

問題2： 聯結BQ、AQ，當QM平分∠BQA，求點M的坐标

解法分析：已知平分和垂直，則聯想“等腰三角形三線合一”，延長QB交x軸。此時構造了一組A型基本圖形，利用比例線段求解。

05 特殊三角形的存在性

問題1：聯結BQ，若▲BPQ為直角三角形，求點M的坐标

解法分析：已知∠QPB=45°，因此，若▲PBQ為直角三角形則有兩種情況，即∠BQP=90°或∠PBQ=90°，此時根據對稱性或等腰三角形的性質，可以求出點M的坐标。

問題2：聯結BQ，若▲BPQ為等腰三角形，求點M的坐标

解法分析：當▲PBQ為等腰三角形時，從等腰三角形圖形特征出發，兩個邊相等，但不能确定具體是哪兩個邊相等，因此需要分類讨論，以點Q為頂角的頂點，以點B為頂角的頂點，以點P為頂角的頂點，在過程中，關注特殊角45度。

06 角相等問題

問題：聯結OP，當∠BOP=∠PBQ時，求點M的坐标

解法分析：通過圖像發現直線PM∥y軸，得到∠BPQ和∠OBA這一對内錯角相等，根據相似三角形的判定定理1，得到▲OBP與▲BPQ相似，借助相似三角形性質，對應線段成比例，從而求出m，便可求出PQ的線段的長度。

07 面積比問題

問題：▲BPQ面積是▲OPM面積的兩倍，求點M的坐标.

解法分析：這兩個三角形是等高的，因此這兩個三角形的面積之比等于底之比。

08 翻折問題

問題1：點Q沿着AB翻折到Q′，若Q′是在抛物線對稱軸上，求點M的坐标

解法分析：通過∠BPQ=45°，繼續關注特殊角45度，根據翻折的性質，對應角相等，對應邊相等，所以∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，因為點在抛物線對稱軸上，從而得解。

問題2：點Q沿着AB翻折到Q’，若Q’ 是在抛物線上，求點M的坐标

解法分析：通過∠BPQ=45°，繼續關注特殊角45度，根據翻折的性質，對應角相等，對應邊相等，所以∠QPQ'=90°，PQ=PQ'，從而得到點Q'坐标，因為點在抛物線上，從而得解。

09 平移問題

問題1：将抛物線沿抛物線對稱軸向下平移n個單位，使原抛物線頂點D落在▲ABO的内部，求n的取值範圍.

解法分析：通過分析可知，點D落在▲ABO内部時，有兩個特殊位置需要關注，即直線x=1與直線AB的交點C和與x軸的交點E，求出交點的縱坐标即可得到平移的距離。

問題2：抛物線頂點D為(1,4)，抛物線對稱軸交線段AB于點E，将抛物線先向左平移1個單位，再向下平移n個單位，使點K落在線段OB上，新抛物線與原抛物線對稱軸交點為點H，聯結HK.若四邊形BKHD的面積為3，求n的值.

解法分析：通過分析可知，先根據題意畫出平移後的抛物線圖像，然後分析得到四邊形BKHD是等腰梯形，四邊形BKHE是平行四邊形，求出BK長度即可得到平移的距離。

10 新定義問題

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