本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

複數外傳

作者 : 管彤

作品編号：038

曾經，我上過一節不太一樣的數學課。那是一節和複數有關的課，課題名字到現在我都記得，叫複數外傳。

複數的産生并不像整數，無理數等數一樣。大部分數都是在生活中或是在數學證明中出現的，但複數卻完全是在解方程的實踐過程中解出來的。老師花了相當長的一段時間跟我們講了一段從卡當開始到費拉裡的數學曆史，講述了從一元一次方程到一元四次方程求根公式的出現。具體内容我記得不是很清楚了，但我記得老師當時經常會提到一個詞，那就是“偉大背後的黑暗”。關于這段數學史的發展，它所創造出的成就是偉大的，但是這些數學家之間的糾葛也的确很黑暗。

我印象最深的故事是關于塔塔利亞和卡當的。塔塔利亞天資聰穎，但他患有口吃。他發現了三次方程的解法，在與弗裡奧的比賽中，他又成功發現了一般三次方程的解法。但他并沒有急着發表，他有更加偉大的計劃。但在此時，他遇到了卡當，他仿佛看到了第二個自己，這讓他沒有顧忌的将自己的秘訣告訴了卡當。沒想到的是，卡當轉頭就以自己的名義發表了，從此名聲大振。他在1545年發表的《重要的藝術》一書中，公布了一元三次方程的一般解法，被後人稱之為“卡當公式”。

雖說卡當這件事做的不太光彩，但不可否認的是，卡當是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，并且在讨論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成

但事實上，他自己對這個答案也感到費解。他認為負數的平方根是沒有意義的，因此這個算式也是沒有意義的。他将這類數稱之為“詭辯量”。

與卡當同時代的數學家邦貝利在利用卡當公式求解一元三次方程時，得到了另一種三次方程根的表達式，在這個表達式中，包含着負數的平方根。邦貝利很快認識到，這類數既不能看做正數，也不能看做負數。他認為這種根像是人造的，而并非是真實的。

随後，他對這類數的運算法則進行了讨論，建立了虛數的運算法則，值得一提的是，他得到了虛數單位的平方為-1的結論。

又經過了100多年，笛卡爾将這類數命名為虛數，也就是“想象中的數”。從此，虛數才流傳開來。

到了18世紀，歐拉用詞語“imaginary”的首字母“”來表示虛數單位，并規定“”。1748年，歐拉首次在發表了對複數的發展具有重要意義的歐拉公式：

歐拉用這個公式處理了大量數學問題，像運用實數一般有效地運用複數，使數學家們對複數産生了一定的信心。這時，已經有許多數學家在廣泛的使用複數，但數學界仍對複數的意義不甚了解。

由于複數與傳統數學的概念相差巨大，人們并未完全承認虛數的存在。真正使人們認識到複數的，是維塞爾，阿爾岡，高斯等人對複數的幾何表示。

德國數學家阿甘得在1806年公布了複數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，複數也能用一個平面上的點來表示。在直角坐标系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，并過這兩點引平行于坐标軸的直線，它們的交點C就表示複數 。像這樣，由各點都對應複數的平面叫做“複平面”，後來又稱“阿甘得平面”。高斯在1831年，用實數組 代表複數 ，并建立了複數的某些運算，使得複數的某些運算也象實數一樣地“代數化”。他又在1832年第一次提出了“複數”這個名詞，還将表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐标法和極坐标法加以綜合。統一于表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中，并把數軸上的點與實數一一對應，擴展為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用複數與向量之間一一對應的關系，闡述了複數的幾何加法與乘法（見圖1）。至此，複數理論才比較完整和系統地建立起來了。

圖1

經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探讨并發展了複數理論，才使得在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目，原來虛數不“虛”。虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了複數集。

正是這種被看作是空洞的符号遊戲的複數，卻完全服從算術上的所有規律，并能完美地表達平面上的點，是一種把平面上的圖形之間的複雜關系變成數的語言的很理想的工具，且很奇妙地推出了種種真實的結果。

複數的接受過程艱難曲折，人們敢于打破陳規思維創造出虛數，探索出一片數學史上的一片新天地。這種偉大轉折點值得我們每一個人深入了解。

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