對數在手

計算我有

今天表妹做作業時，遇到一道計算題：“9710.3265÷2.1829=?”，她毫不猶豫用起了計算器。

這不禁讓超模君在想，在那個計算器還沒有出現的時代，古人們究竟是怎麼進行龐大又繁瑣的計算呢？

先給大家劇透一下，我們今天要說的是對數！請記住它，必考題。

對數的由來

我們都知道，自然對數的底e=2.718281828……在數學中是一個重要的常數。

可是，你知道這個常數是怎麼來的嗎？

要知道，在“大航海時代”是沒有計算器這種東西的！

所以，當時的科學家們都忙着手算呢。

特别是天文學家，加班加點忙着手算：星球軌道與星球位置關系時需要涉及的乘法、除法、開平方與開立方......

正所謂：手算一直爽，一直手算一直爽（才怪）。

終于有一天，這些天文學家爆發了(其實是不想加班了）！開始尋求計算更快的方法。

1594年， 身為富二代的約翰·納皮爾（John Napier)作為一個天文愛好者，為了尋求一種球面三角計算的簡便方法，不經意間發現了等比數列和等差數列的項之間對應關系後，就構造出了對數方法。

接着，他用了整整20年的時間，在計算對數。

終于在1614年6月，納皮爾在愛丁堡出版了第一本對數專著——《奇妙的對數定律說明書》。

納皮爾的《奇妙的對數定律說明書》

納皮爾在書中首次提出對數原理，因此人們也稱其為納皮爾對數：Nap logX。

不僅如此，這本書還令納皮爾，收獲了一大幫科學家迷弟，妥妥的人生赢家。

那麼，問題來了！他創造的對數究竟有多牛逼呢？

對數的出現是數學方法的一次革命

納皮爾的牛逼之處在于，他提出對數的第二年，有人就利用它編制出了對數表，并附錄在納皮爾的書中。

當時的對數表

但可惜，當時人們并沒有“對數函數的底”這個概念，也不知道什麼是數e。

直到18世紀，歐拉把對數函數與指數函數聯系起來，将對數函數看成指數函數的反函數，這時才有了對數函數的底這個概念。

不僅如此，歐拉還發現，被人們稱作自然對數底的數恰好就是數e。

要知道，有了對數，就可将乘除運算轉化為加減運算，即

同樣地，我們也可以通過對數，把幂運算轉換成乘法運算，即lga^b=blga。

這樣子，我們就可以不用計算器來解決表妹的問題了。

我們可以取它的對數，通過對數表查出lg9710.3265=3.9872和lg2.1829=0.3390，把它們相減得到3.6482，再查反對數表，就可求出9710.3265÷2.1829的值4448.3607。

現代對數表中的一部分

有人可能會感到疑惑：那為什麼不直接用計算器來計算呢？

這個方法算出來的是近似值，想要誤差小的答案還要查更精準的對數表。

也許是我們從小就受到了計算器的影響，很多人已經無法體會到，對數的出現是數學方法史上一次革命性的裡程碑。

特别是對于天文學家來說，對數的出現簡直是讓繁瑣的計算變得簡單起來。

就連開普勒也是通過此方法來進行行星軌道計算的。

不僅如此，法國數學家和天文學家拉普拉斯也對此稱贊道：

一個人的壽命如果不拿他在世上的時間長短來計算，而是拿他一生中的工作多少來衡量，那麼可以說，對數的發明等于延長了人類的壽命。

其實他的意思是說：

這句話，在當時的天文學圈裡，無人不知無人不曉。

生活中的對數

好了，接下來，超模君要開始裝逼了！

為了讓模友們更容易理解，我就舉個栗子：

當我們去商店買衣服的時候，

超模君數學好物店的衣服，原價是100元，活動價是95元。劉強西服裝店的衣服，原價是10000元，活動價是9995元。

那麼，問題來了：你會在哪一家店剁手呢？

肯定是超模君的數學好物店啦。這是為什麼呢？

因為在這兩家店中，消費者實際省的都是5元，但是在超模君的數學好物店中，5元相對于總額來說，是一個不小的數字；而在劉強西服裝店中，5元相對于總額微不足道。

這就是營銷學中著名的韋伯-費希納定律：消費者對價格的感受與基礎價格的水平有關，而且消費者對價格的感受更多地取決于相對價值，而非絕對價值。

韋伯-費希納定律（ K=△I/I）

簡單來說，人類的感覺強度與刺激強度的對數成正比，即S=KlgR。

也就是說，長期施加同一刺激，你會感覺到刺激越來越小。

但是，隻要出現一個新的刺激點，你會感覺到刺激越來越大。

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