旋轉體體積特殊公式-tft每日頭條

旋轉體體積特殊公式

圖文更新时间:2024-12-16 08:41:37

奇怪旋轉體的體積怎麼求？

我們高中生都會求一些特别規範的旋轉體體積，例如圓柱圓錐圓台球，對于不太規則的旋轉體，或許你就抓瞎了。比如我班上的徐同學提出這麼一個問題，吓我一跳。

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）1

這可怎麼求？不管怎麼說，先畫個圖。

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）2

旋轉之後的幾何體，是一個圓柱中間挖掉一個抛物線。

我首先想到的課本上關于球的體積推導方法，可以用類似的手法嘗試一下。

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）3

解法一：不妨設

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）4

則

線段AB繞y軸旋轉一周得到的是一個圓環，圓環面積為

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）5

于是，旋轉體的體積就是

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）6

哦，此處需要用到定積分的基礎知識：面積的積分是體積。課本知識，本文不解釋。

既然如此，我當然可以用另一個思路來求解。

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）7

解法二：設點

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）8

則

線段AB繞y軸旋轉一周得到的是一個圓柱的側面，其面積為

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）9

于是旋轉體體積為

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）10

顯然解法二和解法一本質上是完全相同的解法。

将解法二進行拓廣，我們就可以得到一個一般的結論。

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）11

證明和解法二一模一樣。

設點

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）12

則

線段AB繞y周旋轉一周得到圓柱的側面積

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）13

所以其體積為

旋轉體體積特殊公式（奇怪旋轉體的體積怎麼求）14

雖然知識來源于課本，但似乎很好玩的樣子哦。

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