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數學方差和數學期望

圖文更新时间:2024-10-02 11:34:16

方差是在概率論和統計方差衡量随機變量或一組數據時離散程度的度量。概率論中方差用來度量随機變量和其數學期望（即均值）之間的偏離程度。統計中的方差（樣本方差）是每個樣本值與全體樣本值的平均數之差的平方值的平均數。在許多實際問題中，研究方差即偏離程度有着重要意義。

也就是，方差是衡量源數據和期望值相差的度量值。

但是，數學期望存在的時候，方差不一定存在。

考慮參數為n的t分布的密度函數：

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）1

設随機變量

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）2

則其密度函數

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）3

可得

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）4

積分号内為奇函數，可直接得出結果。

但X^2的數學期望不存在，所以X的方差不存在。

轉載網絡内容：

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）5

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）6

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）7

證明中用到了伽馬函數

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）8

和貝塔函數

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）9

因為此時n=2，所以

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）10

不存在。關于t分布，其矩有一個特點，當r<n時，有矩

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）11

但

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不存在。而且當n>2時，

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）13

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）14

故在n=2時，

數學方差和數學期望（方差一定存在嗎）15

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