數世紀以來，不管對科學家還是對工程師，對數表都是非常實用的工具。現在，因與指數函數的密切聯系，對數仍充滿了極強的數學吸引力。

撰文 | 理查德·埃爾威斯（Richard Elwes）

翻譯 | 齊瑞紅、房超、于幻

在過去的很多年中，很多人習慣地把對數表放在手邊用來幫助自己進行乘法和除法運算。在20世紀後半葉，便攜計算器最終将對數表推入曆史。但是，在級數和微積分的深層數學領域中，那引人入勝的發現确保了對數本身永不過時。

在16世紀後期，約翰·納皮爾（John Napier）開始研究他最初稱為“人造數”的數。他發現了一種方法，可以将複雜的乘法運算轉化為相當簡單的加法運算。為了求兩個數的乘積，如4587和1962，他首先計算這兩個數的人造數并求它們的和。然後将這兩個人造數的和進行反人造數運算，即計算原數使得它的人造數就是這個和。雖然這個過程沒有涉及乘法運算，但所得的結果确實是原來那兩個數的乘積——8 999 694。

地震儀用來測量地震的強度。衡量地震強度的、國際上通用的裡氏震級表正是對數運算：測定為3 級的地震強度是測定為2級的地震強度的10倍。

納皮爾的對數

不久後，納皮爾給他的人造數起了一個新的、更好的名字——對數。今天，我們明白對數隻是幂運算的逆運算。幂運算指某數與它本身重複相乘，所以，“2的3次方”指3個2相乘，

布裡格斯的對數表

在約翰·納皮爾發明對數後不久，亨利·布裡格斯（Henry Briggs）開始把它轉變成一個有用的工具。因為我們應用十進制數制來表示數，布裡格斯選擇以10為底計算對數是比較方便的，并開始着手制作一個“對數表” ——從1到1000 的所有整數的對數。在幾年時間裡，布裡格斯和其他數學家将這個表推廣到一個更大的數集上。

當然，對于大部分整數來說，它們的對數都不是整數，所以研究者不得不給出他們求得的對數的精确程度。在18世紀後期，加斯帕德·德普羅尼（Gaspard de Prony）監督制作了一個特殊的數學用表，這個數學用表多達17大本雙開卷，包括最大到200 000的正整數的對數，精确到小數點後第19位（對于較大的數，精确到第24位）。

取自約翰·納皮爾 1614 年的專著《奇妙的對數表的描述》裡用的一張最早的對數表。約翰·納皮爾研究的是後來被稱為“自然對數”的對數，而亨利·布裡格斯研究的是以10為底的對數——後來被稱為“常用對數” 。

自然對數

自從納皮爾發現對數以來，對數學家來說對數非常有用。就像傑出的科學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）所說的：“對數的發現通過節省勞動使天文學家的壽命翻倍。”但是，對數的數學意義比它作為計算工具的意義更為重要和深遠。在1650年，皮耶特羅·曼戈裡（Pietro Mengoli）首次意識到這一點。他的有關級數的研究與他在對數方面的興趣出乎意料地結合在一起。

這個交錯級數有一個确定的極限，約等于0.693147。曼戈裡證明了這個極限數就是 2 的自然對數（通常記作In2，雖然讀成log2）。自然對數像其他的任何對數一樣，隻是對底數有一個特殊選擇，以e為底數，e約等于 2.71828。确實，正是通過自然對數和曼戈裡的結論，數學中最重要的函數之一——指數函數，開始嶄露頭角。

的确，對更準确的對數表的尋找有力地推動了抽象級數理論的發展。在1668年，尼古拉斯·墨卡托（Nikolaus Mercator）出版了名為《對數技術》的著作， 在此著作中，他發現了自然對數的級數公式：

這個美麗的定理正是曼戈裡結果的推廣，曼戈裡的結果對應于x=1的特殊情形。

微積分和對數

墨卡托的定理暗示了自然對數的“自然”，但是一個更完整的故事需要用牛頓和萊布尼茨的微積分理論來訴說。

本文經授權摘自《圖解數學簡史：數學世界中不可不知的100個重大突破》第26篇《對數》。

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