寫一篇邏輯嚴密的文章，涉及到的東西太多，實在很困難，所以某些方面就不深究下去，僅做一個知識點的粗淺歸納。

關于浮點數

IEEE754标準規定：

浮點數的構成：1位符号位 N位階碼 M位尾數（原碼表示）

單精度浮點數：1位符号位，8位階碼，23位尾數，共32位，占4個字節

雙精度浮點數：1位符号位，11位階碼，52位尾數，共64位，占8個字節

長雙精度浮點數：1位符号位，15位階碼，64位尾數，共80位，占10個字節

其中，階碼是由原碼加上移碼構成，所謂移碼（exponential bias），值為2^(N-1)-1，如單精度時，移碼為2^7-1=128

NaN表示not a number : 當階碼全為1，尾數不全為0，此時為NaN；這裡又涉及到 quiet NaN和signaling NaN；如果尾數的首位是1，那麼就是quiet NaN；如果尾數的首位是0，其餘尾數有不為0，那麼就是signaling NaN。這是 大多數處理器，包括Intel與AMD的x86系列、Motorola68000系列、AIMPowerPC系列、ARM系列、SunSPARC系列，采取的标準。這個标準被IEEE754采納。

而 PA-RISC與MIPS處理器，采取了首位為'is_signaling'标記位，恰與上述标準相反。

那麼，什麼是quiet NaN和signaling NaN？

意思是：

當一個操作導緻一個安靜的NaN，沒有指示任何異常，直到程序檢查結果并看到一個NaN。也就是說，如果在軟件中實現浮點，計算将繼續進行，而沒有來自浮點單元（FPU）或庫的任何信号。信号NaN将産生一個信号，通常以FPU的例外形式。是否抛出異常取決于FPU的狀态。

以上介紹了浮點數的NaN的定義，下面介紹 Inf和-Inf的定義。

Inf，即正無窮大：當符号位是0，階碼全為1，尾數全是0，此時為正無窮大；

-Inf，即負無窮大：當符号位是1，階碼全為1，尾數全是0，此時為負無窮大；

所以對于64位的雙精度浮點數：

NaN 為：0xFFF8000000000000ULL

Inf為：0x7FF0000000000000ULL

-Inf為：0xFFF0000000000000ULL

下面繼續問：

單精度，雙精度，能表示的最小的小數是多少？我如果知道了每種精度能表示的最小的小數，那麼就會很清楚的去選擇正确的精度類型。

已知：float，單精度浮點數，1位符号位，8位階碼，23位尾數。

既然尾數有23位，那麼能表示的最小的小數對應着23位尾數中，隻有最後一位是1，其餘全是0

即0.0000,0000,0000,0000,0000,001B ，這個二進制對應的小數是2^(-23)，即0.000000119D

那麼0.00000012D對應的二進制是多少呢？因為0.000000119D對應的二進制是0.0000,0000,0000,0000,0000,001B，這已經是最小的二進制數，當二進制增加1時，即

0.0000,0000,0000,0000,0000,010B，對應的小數已經是0.000000228D

而，0.00000012D介于0.000000119D和0.000000228D之間，所以0.00000012D的二進制仍舊是0.0000,0000,0000,0000,0000,001B

意思就是：小數點後第8位并不是有效位；那麼小數點後第7位呢？

0.0000,0000,0000,0000,0000,001對應的十進制是0.0000001，

0.0000,0000,0000,0000,0000,010對應的十進制是0.0000002，

所以，float的有效位就是小數點後7位。

以上是從二進制的形式來分析數的有效位；

下面如果面對的是十進制數

比如：0.100000111D，與0.100000112D，這兩個數，如果聲明類型為float，那麼這兩個數是不是相等的？

首先，要對十進制數進行歸一化為1.xxxxx的形式；

如果遇到整數部分不是1的，那麼就會浮動小數點，得到1.00000111和1.00000112

當然小數點浮動了，階碼也改變了。這樣得到的兩個小數，他們的小數部分就是7位有效位。

所以1.00000111就是1.0000011；而1.00000112也是1.0000011，所以說0.100000111，與0.100000112是相等的。

那麼0.00000011122233f 和 0.00000011122234f這兩個數是不是相等的？

從表面看，雖然他們已經在小數點後14位才不一樣，似乎他們應該是相等的。但其實，他們并不相等。因為雖然前面有那麼多的0，但是這是浮點數，它會移動小數點，以達到最精簡的表達這個數，歸一化後為1.1122233f和1.1122234f，此時他們的小數點後是7為數字，不同的位置在第7位，所以計算機可以區分出這兩個數是不同的，所以0.00000011122233f 和 0.00000011122234f這兩個數是不相等的。

float x11=3.00000012f 和 float x22=3.00000010f這兩個數是否相等？

答案是：

不相等。

雖然表明上看，這兩個數的小數部分的前7位都是一樣的，整數部分也一樣，似乎應該是相等的。

x11=3.00000012f的小數部分明顯大于2^(-23)，也就是說尾數的第23位是1；x22=3.00000010f的小數部分明顯小于2^(-23)，也就是說尾數的第23位是0；

但是，他們的整數部分是3，即二進制11，歸一化後的尾數的第1位被3的二進制的第0位的1占據。

這樣，x11的歸一化之前的尾數的第23位就被劃在了歸一化後的尾數的範圍之外。也就是說x11和x22在歸一化後，他們的尾數都是一樣的了。可是為什麼結果還是不相等呢？

原因在于x11歸一化後，雖然尾數的第23位是0了，但是它的第24位是1，這個1等于了float的

機器ε（machine epsilon）的一半，所以不能舍去，于是向尾數的第23位進1，于是尾數的第23位并不是0，而是1。

至于什麼是 機器ε， 機器ε是指最小的尾數，即尾數的第23位是1時的值。

如果上面的理解是正确的，那麼如果我将x22的值，歸一化之前的小數部分的尾數的第22位設置為1，這樣當将整數部分的3歸一化後，22位上的1變成了23位上的1，這樣x22就與x11一樣了。下面驗證一下，是不是一樣。

當22位上是1時，那麼值就是2^（-22），即0.000000238，于是我程序比較

float x11=3.00000012f 和 float x22=3.00000024f; 這兩個數是不是相等。如果相等，證明我的理解是正确的。

說明我的猜測是正确的。

幾個例子

float x11=3.00000011f 和 float x22=3.00000012f是不相等的；

float x11=3.00000011f 和 float x22=3.00000010f是相等的；

請問，float x11=100.00000022f和float x22=100.00000011f是否相等。

100，劃分為二進制是1100100，歸一化後，它的100100歸入了尾數中，導緻歸一化之前的尾數中的第22,23位都被分離了出去，原來的位17變成了現在的位23，并且原來的位18也是0，即現在的位24是0，所以24位及其後面的都被舍去。即x11和x22是相同的。

也就是說：當一個浮點數，整數部分的值很大時，這會占據小數部分的有效位。

另外，也可以這樣理解：

x11=100.00000022f，歸一化就是1.00 00000022f ;

x22=100.00000011f，歸一化就是1.00 00000011f；

從小數部分數7位，發現以上都是一樣的，所以x11和x22是相等的；

這就是規律。

即：先把數歸一化，得到首尾是1的數，再判斷它的小數部分，7位有效位，同時判斷第8位的值是否超過機器ε的一半。若有，則有進位。否則，舍去。

對于double，雙精度浮點數：

1位符号位，11位階碼，52位尾數，共64位。

那麼它的機器ε就是：2^(-52)，即0.000000000000000222

即雙精度浮點數的有效位是小數點後16位。

下面，實際的計算一下，3.1415這個浮點數當類型是雙精度時，在内存中的表示。

3換算為二進制就是11

0.1415換算為二進制就是0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0...}

所以3.1415的二進制表示就是：

11. 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0...}

歸一化為：

1.1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,1101{0...}

因為歸一化了，将整數部分的1劃入了尾數，所以此時尾數是：

1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,110{10...}

第53位是1，進1，得到：

1.1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,111

尾數換算為16進制就是：921CAC083126F

階碼的原碼是1，即2^1，因為這個是雙精度浮點數，可知它的移碼是2^(11-1)-1，即：

十進制數1023，換算為16進制數是3FF，加上階1，得到400

所以3.1415，用雙精度表示就是：

0 {11-1111-1111} {1 0010,0100,0011,1001,0101,1000,0001,0000,0110,0010,0100,1101,111}

從後往前，4bit一組，構成16進制，表示為：

0x400921CAC083126F

下面，用軟件來驗證3.1415的雙精度浮點數，在内存中的值是不是 0x400921CAC083126F

unsigned long long a=0x0;

double b=3.1415;

a=*((unsigned long long *)(&b));

意思是：取得變量b的地址，将這個地址的類型轉換為unsigned long long *，然後取得這個地址的内容，送給a

debug中斷，查看&b的值是0x0012FEA8, 從這個地址開始的8個字節的内存值是：

我的電腦是Intel處理器，數據在内存中是以小尾形式保存的，即數據的高字節保存在内存的高地址處；數據的低字節保存在内存的低地址處。

因此，從地址0x0012FEA8開始的8個字節，組成的數據是0x400921CAC083126F

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