二·套路
三·腦洞
本題考查抛物線的切線性質,涉及橢圓的方程、橢圓的切線、抛物線的切線、導數的應用等知識點,考查數形結合的思想、轉化與劃歸的思想,屬于中檔題。
本題主要考查抛物線,橢圓并沒有多大作用,本題完全可以改編為求點P的軌迹方程,因此不要被披着狼皮的羊給吓暈了。
第(Ⅰ)問考查橢圓的切線,由對稱性得出其中一條切線的方程,然後聯立方程由判别式等于零求出基本量,代入即可得到方程。
第(Ⅱ)問,通過導數求得抛物線的切線方程,進而求得切點弦的方程,由切點弦的方程得到點P的軌迹方程。由于點P的軌迹是一條與橢圓相交的直線,因此存在兩個這樣的點P滿足要求。
值得說明的是,本題蘊含深刻的數學背景,歸結為下面定理:
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