七年級下學期數學，寒假預習，垂線的概念與性質，6個知識點。當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足。

01知識點一：垂線的定義

例如：如圖，AB、CD互相垂直，0叫垂足，AB叫CD的垂線，CD也叫AB的垂線。可記為： AB⊥CD，垂足為O，或AB⊥CD幹點O。如果遇到線段與線段、線段與射線、射線與射線、線段與直線垂直時，特指它們所在的直線互相垂直。

∵∠AOD=90°(已知)，∴AB⊥CD (垂直的定義)

∵AB⊥CD于點O(已知)，∴∠AOD=∠AOC=∠BOC=∠BOD =90° (垂直的定義)

例題1：小紅在學習垂線時遇到了這樣一個問題，請你幫她解決：如圖，線段AB和CD相交于點O，則下列條件中能說明AB⊥CD的是（ ）

①∠AOD=90°； ②∠AOC=∠BOC：

③∠AOC=∠BOD； ④∠BOC ∠BOD=180°

⑤∠AOC ∠BOD=180°

分析：根據垂直定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直進行判定即可。

解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；②∠AOC=∠BOC，可以得出AB⊥CD：③∠AOC=∠BOD，不能得到AB⊥CD；④∠BOC ∠BOD=180°，不能得到AB⊥CD；⑤∠AOC ∠BOD=180°，可以得出AB⊥CD．故①②⑤共3個．

02知識點二：點到直線的距離

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離。

例題2：下列語句中：①有公共頂點且相等的角是對頂角；②直線外一點到這條直線的垂線段，叫作點到直線的距離；③互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直；④經過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直．其中正确的個數有（ ）

解：①具有公共頂點，兩邊互為反向延長線的兩個角為對頂角，故①不正确．

②直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離，故②不正确．

③互為鄰補角的兩個角的和為180°，那麼互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直，故③正确．

④同一平面内，經過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直，故④不正确．

綜上：正确的有③，共1個．

本題主要考查對頂角、點到直線的距離、鄰補角、垂線，熟練掌握對頂角的定義、點到直線的距離、鄰補角、垂線是解決本題的關鍵。

例題3：如圖，P為直線l外一點，點A，B，C在直線l上，且PB⊥l，垂足為B，∠APC=90°，則下列語句錯誤（ ）

A．線段PB的長叫作點P到直線l的距離

B．線段AC的長叫作點C到直線AP的距離

C．PA、PB、PC三條線段中，PB是最短的

D．線段PA的長叫作點A到直線PC的距離

分析：根據“從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離”和“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短”進行判斷，即可解答。

解：A、線段PB的長度叫作點P到直線l的距離，故原說法正确，故A選項不符合題意；

B、線段PC的長度叫作點C到直線AP的距離，故原說法錯誤，故A選項符合題意；

C、PA、PB、PC三條線段中，PB最短，故原說法正确，故C選項不符合題意；

D、線段PA的長叫作點A到直線PC的距離，故原說法正确，故D選項不符合題意．

03知識點三：垂線的畫法

垂線的畫法：

（1）放：放直尺，直尺的一邊要與已知直線重合；

（2）靠：靠三角闆，把三角闆的一直角邊靠在直尺上；

（3）移：移動三角闆到己知點；

（4）畫線：沿着三角闆的另一直角邊畫出垂線。

例題4：下列各圖中，過直線l外點P畫l的垂線CD，三角闆操作正确的是（ ）

解：根據垂線的作法，用直角三角闆的一條直角邊與l重合，另一條直角邊過點P後沿直角邊畫直線即可，選D。

04知識點四：垂線的性質

過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直。

注意：過一點畫已知線段(或射線)的垂線，就是畫這條線段(或射線)所在直線的垂線。

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

例題5：如圖，某同學在體育課上跳遠後留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距離，能正确解釋這一現象的數學知識是（ ）

A．兩點之間，線段最短

B．垂線段最短

C．兩點确定一條直線

D．經過一點有且隻有一條直線與已知直線垂直

​解：如圖，某同學在體育課上跳遠後留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距離，能正确解釋這一現象的數學知識是垂線段最短．

05角度的計算

例題6：如圖：AB、CD、EF交于O點，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠COE=28°，求∠AOG的度數．

解：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°．

∵∠FOD與∠BOE是對頂角，

∴∠COE=∠FOD=28°，

∴∠BOE=90°-∠COE=62°，

∴∠AOE=180°-62°=118°，

∵OG平分∠AOE，

∴∠AOG=1/2∠AOE=1/2×118°=59°．

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