一個數如果是另一個整數的完全平方，那麼我們就稱這個數為完全平方數，也叫做平方數。

例題一、一個數減去100是一個平方數，減去63也是一個平方數，問這個數是多少？

解：設這書減去63為A²，減去100為B²

則A²- B²=(A B)(A-B)=100-63=37×1，

可知A B=37，且A-B=1,所以A=19,B=18

這樣這個數為18² 100=424或19² 63=424

例題二、一個自然數減去45及加上44都是完全平方數，求此數。

解：設此自然是為X，依題意可得

X-45=M²

X 44=N²

N²-M²=89

(N M)(N-M)=89=89×1

可知N M=89，N-M=1,所以M=44,N=45

這樣這個數為44² 45=1981或45²-44=1981

n是正整數，3n 1是完全平方數，證明：n l是3個完全平方數之和．

解析： 此題可以由3n 1為完全平方數得到3n 1=m2，則m=3k 1或3k 2，再得到n的值，代入n 1經變形即可證為3個完全平方數之和．

一個正整數，如果加上100是一個平方數，如果加上168，則是另一個平方數，求這個正整數．

解析：所求正整數為x，引入參數m和n分别表示這兩個完全平方數，然後利用奇偶性分析求解．

自然數n減去52的差以及n加上37的和都是整數的平方，則n=？

解析：設n﹣59=a2，n 30=b2，則存在a2﹣b2=﹣89=﹣1×89，根據奇偶性相同即可求得a、b的值，即可求得n的值．

已知x y=4，且x-y=10，則2xy=？

解析： 把原題中兩個式子平方後相減，即可求出xy的值．

已知4x2 4mx 36是完全平方式，則m的值為？

解析：這裡首末兩項是2x和6這兩個數的平方，那麼中間一項為加上或減去2x和6積的2倍．

已知x y=-5，xy=6，則x² y²的值是？

解析：先把所求式子變形為完全平方式，再把題中已知條件代入即可解答．

小明計算一個二項式的平方時，得到正确結果a²-10ab ■，但最後一項不慎被污染了，這一項應是？

解析:根據乘積二倍項找出另一個數，再根據完全平方公式即可确定

已知a b=3，a³ b³=9，則ab等于？

解析：根據條件a b=3，兩邊平方可求得a² b²=9﹣2ab，再把條件a³ b³=9展成（a b）和ab的形式，整體代入即可求得ab的值．

如果多項式p=a² 2b² 2a 4b 2008，則p的最小值是？

解析：把p重新拆分組合，湊成完全平方式的形式，然後判斷其最小值．

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