先簡短地回答下我對“什麼是導數”的認識：導數是用來找到“線性近似”的數學工具。

下面我來解釋一下，為什麼我是這樣認為的。

在我學習微積分的過程中，我對導數的認知經曆了三次變化：

• 導數是變化率、是切線的斜率、是速度、是加速度
• 導數是用來找到“線性近似”的數學工具
• 導數是線性變換

我認為第一種認知比較片面，在多元函數的情況下甚至是錯誤的。第二種認知更接近微積分的本質，第三種認知是為了實現第二種認知發展出來的。

因為種種原因，我們的學習都是從第一種認知開始的。我會在本文分别介紹一下這三種認知。最後會通過第三種認知回答“多元微積分中，可微函數的切線為什麼會共面（此平面即切平面）？”

1 導數是變化率、是切線的斜率、是速度、是加速度

微積分的發明人之一是牛頓，牛頓主要還是研究物理為主，微積分不過是他發明出來研究物理的一個數學工具（大師就是這麼厲害）。

因為牛頓研究物理的緣故，所以牛頓用變化率的方式引入了導數（牛頓稱之為“流數”）。

在物理裡面變化率還是很自然的概念，比如為了求瞬時速度：

同理，求加速度的話就是求速度對于時間的變化率，這裡就不贅述了。學習物理的一般習慣把導數看作變化率。

還可以順便得到了切線的斜率：

我們一般是上面這樣的學習過程，所以我們認為，導數是曲線的變化率、是瞬時速度、是加速度，還可以是切線的斜率。

1.1 但是！

把導數看作是變化率、是切線的斜率，在一元函數的時候是正确的，但是，敲黑闆，說但是了哈。

在二元函數中，比如這樣一個曲面上的一點

：

在曲面上可以做無數條過

點的曲線（圖上随便畫了三根）：

把導數看作是變化率、是切線的斜率，在多元函數中是片面的，甚至是不正确的。

我們必須要重新審視“導數是什麼”這個問題。

順便說一下，把導數繼續看作變化率，切線的斜率，可以得到偏導數、方向導數、全導數.

2 導數是用來找到“線性近似”的數學工具

講這個之前，我們要先理解微積分的基本思想。這個思想在我的很多回答中都提到了，這裡簡單的闡述下。

2.1 微積分的基本思想

微積分的基本思想是“以直代曲”：

“以直代曲”的意思就是，切線可以在切點附近很好的近似曲線：

我覺得下面這幅圖也挺有意思，如果在曲線上多選幾個點，都作出附近的切線，我們可以透過切線看到曲線的輪廓：

這裡我希望給你一個直觀印象，切線可以在切點附近很好的近似曲線。如果仔細看泰勒公式、洛必達法則等，還會通過代數發現這一事實。

2.2 導數是用來找到“線性近似”的數學工具

因為“以直代曲”是微積分的基礎，所以我們首要任務就是要找到這個“直”，也就是切線，也就是所謂的“線性近似”。導數就是為了完成這個任務需要使用的數學工具。

我們來看看，在一元函數中：

因此，在一元函數中，我們把導數看作斜率，可以找到我們想要的“線性近似”（切線），但是在二元中，我們需要新的技術手段。

3 導數是線性變換

3.1 二元函數的“線性近似”

導數最主要的目的是找到“線性近似”，在一元函數的時候是要找到切線，在二元函數的時候是要找到一個切平面

一個平面是沒有斜率的概念的，因此我們不能把導數繼續看作斜率了，我們需要别的方法來找到這個切平面。

3.2 線性變換

對線性代數不熟悉的話，可以先看下我之前的回答什麼是仿射變換？。下面就會用到大量的線性代數基礎知識，我不再進行解釋了。

還是從一元的時候開始推：

上圖的

指向右邊，實際上求出的

是右導數，我換個方向就可以求出左導數：

如果

，相當于左右導數相等，我們就稱為此點可導。

二元函數的時候，

有無數的方向（不像一元的時候隻有左右兩邊）：

我們把這些

分别記為

，那它們的切線分别為：

導數分别就是

（可以理解這些都是方向導數）。

導數：如果有

，那麼此點可導，此點導數即為

。

為什麼

就是導數？

不是還沒有完成找到切平面的任務嗎？

3.3 通過導數

來找到切平面

首先，所有的

肯定是共面的：

因為此點可導，即所有的

的導數都是

，所以變換後的結果也共面（線性變換的特點是，變換前是共面的，變換後也是共面的）：

看看動畫吧（可以旋轉視角來觀察）：

對所有的

的都進行

變換，實際上就得到了切平面：

至此，導數完成了找到“線性近似”的任務。這裡也很自然的回答了“多元微積分中，可微函數的切線為什麼會共面（此平面即切平面）？”

注意，有一點需要特别說明的是，因為矢量的起始點要求是在原點，但是我上面把起始點放在

點了，所以實際上是仿射變化，所以實際上

，其中

仍然是導數。

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