數學魔術就像讀心術一樣，你需要去揭示下面四個把戲背後的秘密。

數學遵循一定的邏輯。如果一種情況能夠用數學來準确地描述，那麼有時可以提前幾個世紀預測将來必定會發生的事情——例如，月食發生的時間、七星連珠發生的時間等等。對于那些不熟悉預測背後的數學的人來說，這個結果看起來像是魔術。

接下來我們一起探索四個數學魔術的例子，它們乍一看好像是讀心術，像是舞台魔術一樣，會讓我們想知道：“他們是怎麼知道我在想什麼的？”

大家應該都看過一個魔術，魔術師随機找一個觀衆，讓她想一個數字，寫下來給觀衆看，但隻有魔術師看不到。然後魔術師對這個數字進行一系列簡單的算術運算，最後，魔術師會猜到這個數字，多麼令人驚奇！這是怎麼做到的呢？

這裡舉個簡單的例子，可能會讓你周圍的孩子大吃一驚，甚至激發他對數學的興趣。

謎題1

這個魔術适用于可以算乘法的小孩子（如果不行，可以找人幫忙算）。讓小紅（或者小明）想一個三位數，但不要說出來，告訴他們你可以變出兩個秘密數字。第一步，讓小紅把數字乘以7，然後乘以11，最後，加以适當的魔術表演與語言，再将結果乘以13。

如果她做對了，可能會發現她笑得很開心。而對你，或者對一個大一點的孩子來說，問題是——怎麼做到的？

聰明的讀者已經發現了，這個過程其實是将秘密數字乘以 7 × 11 × 13 = 1,001，這個數字能将原始的三位數字“複制兩份”，比如說秘密數字是 457：

謎題2

在2 和 9 之間有兩個未知數字，這個數字可以包含2或9，也可以是一樣的。S 和 P 是兩位邏輯清晰的數學家， S 知道了兩個數字的和，P 知道了兩個數字的積分。然後他們的對話如下：

S：我沒法推斷這兩個數字是什麼。

P：我也沒法推斷是什麼。

S：哦，那我知道是什麼了！

P：那我也知道了！

乍一看，這似乎是一種神奇的讀心術——他們從哪裡獲得解決問題的新信息？你能找出這兩個數字嗎（有兩個可能的答案），你能解釋一下S和P是怎麼做到的嗎？

提示：将S和P的所有可能情況制成表格，找出在對話中可以推斷的信息（記住要考慮所有可能的情況）。這并不涉及任何困難的計算，但容易混淆他們各自的信息。

這裡給出一種分析：根據可能的情況繪制 8×8的表格，表格的元素用（和，積）來表示，根據兩人的對話對可能的數字進行分析：

1. S說他無法推斷出這些數字是什麼時，意思是，他得到的和在表格中不止一次出現，去掉那些隻出現一次的數字：4（2 2）、5（2 3）、17（8 9）和18（9 9），這些可以從列表中删除，并在圖中顯示為灰色。

2.同理，P 說他也不能推導出這些數字，說明他得到的乘積也不止出現了一次，找到出現不止一次的數字：12（2×6，3×4）、16（2×8，4×4）、18（2×9，3×6）、24（3×8，4×6）和36（4×9，6×6）。這些結果以紅色顯示，其他的可能都排除。

3.S可以推導出乘積。這意味着在這些乘積中，對應他的數字隻有一個是可能的。因此，我們需要觀察每個求和對角線，選擇隻有一個紅色乘積的對角線。可能的情況有：積為12、18、36和36，對應的和分别為7、9、12和13（用紅色箭頭所示）。

4.P可以推導出和，代表隻有一個和與他的乘積對應。36可以排除，因為36的總和可能是12或13。因此，唯一可選擇的和積對是（7，12）和（9，18），它們對應于原始數字對（3，4）和（3，6）。

答案（3，4）和（3，6）都符合問題陳述，并且都是正确的。然而，讀者達米恩表示，隻有一個正确答案（3，4）。在下一個謎題中可以看到，随着可選數字上限的增加，這類謎題的答案可能會改變，如果數字的範圍從9變為10，那麼（3，4）仍然是一個解，但是（3，6）就不是了，所以把（3，4）看作是原始問題的穩定解，像（3，6）這樣在更改數字範圍時出現和消失的解，稱為“幻影解”（phantom solutions）。

謎題3

現在，同樣還是兩個數字（可以相等），現在它們介于2和70之間。同樣的，給S出兩個數字之和，給P出兩個數字之積，他們對話如下

P：我沒辦法推斷這兩個數字是什麼。

S：我本來可以告訴你的，盡管我也不能推斷出數字。

P： 哦，現在我知道這兩個數字是什麼了！

S： 我也是！

再次找到這兩個數字是什麼，S 和 P 是怎麼算出來的。

謎題2中，有15個不同的和和64個不同的乘積，謎題3中，有137個和及4761個乘積。

通過列表法可以找到謎題2 的解，但是到謎題3這裡，可以嘗試利用電子表格或者編程來計算，一些讀者無疑會這樣做。但如果仔細思考S的第一句話，可以用一些初始數論的思想來限制一些可能性，從而在紙上解決這個問題。所以第二個問題是：利用數論原理，在排除一些選項之後，手動計算的最小可能情況有多少種？

這裡給出參考的解決思路：

1.由于P不能推導出兩個數，所以P不可能是兩個素數的乘積，同樣，S也不是兩個素數的和。這裡出現了哥德巴赫猜想，這也許是數論中未經證實的最著名的猜想了。哥德巴赫猜想指出：任一大于2的偶數都可以表示為兩個素數之和。雖然這個猜想還沒有證明，但是對于4 × 1018 以下的偶數都成立。因為我們猜的數的範圍遠小于此，因此可以肯定地說 S 不可能是偶數。

2.推導1的另一方面，我稱之為推導2的是：S不可能是奇數的素數與2的和，因為2是素數。比如說S不可能是9，因為9是素數 7 與2的和，它們的乘積是14，隻有一種分解：2×7，這種情況下，P會立刻知道這兩個數字是什麼。

3.最後，S必須小于等于2加上一個素數，這個素數是大于等于範圍上限的一半的最小素數。比如範圍為70時，這個素數就是大于70一半，即35的最小素數：37。根據規則，S不能大于等于39。這個條件是由乘積這一項的範圍限制的。比如說，如果 S 是39，為37 2，其都是素數，會被馬上推斷出來，且不滿足推導2。下一個奇數41，其乘積為37×4=148，分解為74×2 時，74超過範圍；另一種分解37×4的可能也會馬上推斷出來兩個數。同理，37 6，37 8，37 10……直到70。一般來說，任何大于39的奇數都可以表示為 37 X，其中X為偶數，因此這樣的因子都可以被分解為 37×X 的形式。

4.根據上述推導，可以利用 S 和 P 的前三個對話将可能的數字縮減到 11, 17, 23, 27, 29, 35 和 37，這已經很棒了，但可以更進一步。S給出第四句的關鍵是：必須有一個唯一的乘積P對應S的和。來看 S=11 的情況，可以表示為 3 8或者3 23 也可能是7 4或7 22，如果P推導S為11，那麼P可能是24，分解為3×8 的情況，S為11；另一種分解2×12的情況給出S為14，根據推導1不成立；4×6的情況S為10，同樣排除。如果P為28，分解為4×7，S也為11，允許；分解為2×14，S為16，不允許。因此，給定S為11的情況下，無法确定 P 是24還是28，因此這裡給出推導4：S不能為可以用 y 2n表示的形式，其中y為一個奇素數。

從目前的候選數字中來看，11已經被排除了。同理23 (19 4 和 7 16)，27 (23 4，19 8 和 11 16)，35 (31 4，19 16 ，3 32) 和 37 (29 8 和 5 32)也都被排除了。現在隻剩下17和29這兩個可能。可以排除29的選項，因為13 16、25 4都有可能，根據對話S必須隻有一種選項。

下表中給出了S=17 的可能情況，第一列有一對候選數字，第二列對應着其乘積，第三列是針對乘積給出的可能數字，第四列為對應的第三列的和。第五列代表這些和根據對話是否是允許的（其必須是11、17、23、27、29、35和37中的一個）。哪怕是第五列得到的Y，也不代表P知道這兩個數字，因為第一列的一對，可能有兩種數字對。結合第六列，隻有一種可能，即4×13，這就是謎題唯一的答案。

謎題4

一個“數學大師”扔掉了牌裡面的2到6的數字，從而準備了一副32張牌。他将剩下的牌按照一定的順序排列，然後牌面朝下放在桌子上。随機挑選五個人坐到桌子旁，然後他們一個接一個地切牌。然後第一個人拿走最上面的牌，将牌組傳遞給第二個人，第二個人依次拿着當前的最上面的牌，依此類推。當每個人都有一張卡片時，最後一個人将牌組正面朝下放回桌上，然後都回到自己的座位上。

現在，表演者要求五個人以心靈感應的方式向他傳送卡片。他聚精會神地皺着眉頭，最後，無奈地搖了搖頭。“這幾天越來越難了，宇宙膨脹導緻紅移，幹擾了我接收到的顔色。請持有紅牌的人站起來好嗎？”

第二個和第五個參與者站了起來。這位數學家臉上掠過一絲寬慰的神色。“現在很清楚了，你有紅心10，你有方塊K。”事實确實是如此，他也猜對了其他三個人的牌。

他是怎麼做到的？好吧，既然我告訴過你這個把戲是嚴格的數學技巧，很明顯他記住了卡片順序（可能使用了某種代碼），而且卡片順序在五次随機切牌中保存了下來，你知道為什麼嗎？

提示：考慮序列00010111，它周期性地包含了由0和1組成的八個可能的三聯數：000、001、010、101、011、111、110和100。如果你像撲克牌一樣“切”它，會發生什麼？

表演者在舞台上的打趣是純粹的戲谑還是戲法的關鍵？當你玩這個把戲的時候，你能想出卡牌的順序麼？

這裡給出一位讀者提供的解法。

序列00010111稱為0和1上的3階德布魯因(de Bruijn)序列。像撲克牌一樣對它進行“切牌”就相當于把它循環若幹次，與此同時，仍然保留其序列的屬性。我們可以構造所有可能的由5個 B 和R構成的所有可能序列和，例如：

BBBBBRBBBRRBBRBRBBRRRBRBRRBRRRRR，

其長度為：25=32位，這跟我們卡牌數目一樣，讓德布魯因序列中的每一個B對應一張黑牌，R對應一張紅牌。B和R的每一種排列都是唯一的，所以一旦你知道紅色在哪裡，你就知道五張牌的整個順序（BRBBR）。然後簡單地記住卡牌的順序，直到找到對應的這五張牌的順序，你就知道答案了。在表演中，為了找到紅色的牌的順序，開玩笑的流程是必要的。

希望你能從以上謎題中的各種信息裡面推斷出更多的信息，這就是魔法的奧秘！去享受解開這些魔術的樂趣吧！

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