走近數學（1）

—— 數學是什麼

馮躍峰

數學是什麼?難道就是一些抽象的符号和複雜的公式、定理?這種理解雖不能說是完全錯誤的，但至少可以說是不全面的。

數學是一種高度抽象的理論模型，它的抽象首先來自于對客觀事物、現象、規律的模拟，但又不被客觀事物所限定，可以按自身的規律發展。

最初的數學不過是算術與幾何，幾何來源與土地的測量，算術來源與勞動果實的統計與分配 。因此可以說，對客觀事物的模拟或抽象是數學的一大特點，但這并非數學的全部。

公理化體系使幾何成為一門真正的科學，而公理化的變異，則導緻了非歐幾何的誕生。非歐幾何是數學自身發展的産物，而不是來源于對客觀事物的抽象，它恰恰把數學最初的産生過程颠倒過來 ──不是由客觀事物抽象為理論進而完善理論，而是從抽象的理論出發，通過自身的完善，反過來刻畫自然。

幾何的發展是如此，算術的發展也是如此。近世代數中的群、環、域并不是對自然現象的模拟，而是數學研究中的進一步抽象。實際上現代數學中的大量内容都不再是對客觀事物的簡單模拟和抽象，它是在一定的理論假設（公理體系）下，不斷豐富發展起來的構架，所有數學結果都可以看作是這座構架中的果實或枝葉。

所以， 通過自身理論的完善産生新的理論反過來又刻畫自然是數學的另一特點。

微積分的創立，更能說明數學的上述兩個特點。從研究變速運動的瞬時速度、曲線的切線的斜率等問題入手，引入了“導數”概念（對客觀事物模拟）;從“導數”的逆運算引入了“不定積分”（自身理論的完善）;從曲邊梯形的面積計算引入了“定積分”（對客觀事物的模拟）;而通過數學發現，建立了牛頓─萊布尼茲公式，把從兩個截然不同的問題入手得到的數學抽象緊密地聯系在一起（自身理論的完善），反映出數學的美妙和奇特。

今天的微積分遠遠不隻反映切線斜率、變速運動中的瞬時速度、曲邊梯形面積了，這就是數學發展的魅力所在。

我們知道，數學曾一度被定義為“研究數量關系和空間形式的科學”。但數學發展到今天， “數量關系”和“空間形式”已不能反映數學的全貌。我們也無須給出“數學”的精确定義，因為它并不影響我們研究數學及進行數學教育， 更何況今天給出的定義很難預料在明天還能概括出不斷發展後的數學的内涵。

但從數學的發展可以看出，數學的豐富内容遠遠不止是一些概念、公式、定理，這些隻是數學的外在表現形式。其本質的内容至少應包含這樣兩個方面:一是對客觀事物的模拟或抽象，二是自身理論的完善與擴展。

根據這樣的理解，我們把數學劃分為“數學建構”和“數學發現”兩個方面。

所謂“數學建構”，就是擴充原有的數學理論體系或創造新的數學理論體系。比如:引入符号、命名、下定義、設定公理等。

所謂“數學發現”就是在已有的理論體系中發現新的數學結論。比如:發現定理、公式、法則、原理以及解決有關數學問題的方法等。

數學建構和數學發現實際上都屬于數學創造的範疇，由數學創造産生了數學知識。但數學創造和數學知識也并不能概括數學的全貌。比如說，人們創造這些知識幹什麼?回答這一問題靠的并不是别的什麼學科，而是靠數學本身。

因此，數學的另一個重要的方面就是數學應用。

數學應用包括應用數學知識解決純數學問題和應用數學知識解決生産、生活、教育、科研中一些非數學的實際問題。

事實上，數學自誕生之日起就與廣泛的應用密不可分。但數學并沒有一開始就形成一門系統的學科。

因此，數學還有一個往往被人忽視的方面就是數學總結。它包括對數學已有的結構、知識、方法、應用等進行再改造，使之更簡單，更實用，更完美，以及對數學已有的結構、知識、方法、應用等進行系統的整理，使之形成完整的邏輯體系。這一工作的曆史典範就是歐幾裡德的《幾何原本》的誕生。

以上我們讨論的數學創造，數學應用，數學總結都是數學的動态的内容，我們可把這些内容概括為數學活動。由此可見，數學至少應包括靜态内容—數學知識，和動态内容—數學活動兩個方面。但這兩個方面都是數學的顯式形式。我們認為，數學還有一種隐式形式，我們稱之為數學素質。

什麼是數學素質?數學素質是人的數學觀念和數學機智的綜合反映。

所謂數學觀念，就是數學處理問題的思維方式，它是一種處理問題的宏觀策略。在數學觀念的作用下，人們習慣于從數學的角度思考問題，處理問題。它通常表現為如下兩個方面:

一是從“問題數學化”的角度進行思考。

比如，遇到問題總數先考慮問題中各元素之間的數量關系，位置關系，因果關系，空間形式，結構特征;或者透過問題的表象把握問題的本質，并将其本質特征抽象為一些具體的符号或參數，通過對符号的操作和認識來刻劃事物的性态;或者建立一個數學模型，使問題中諸因素及其相互關系在模型中得以實現， 最後借助模型的變換解決問題等等。

二是從“數學思想方法的應用”的角度進行思考，即将數學處理問題的思想方法遷移到當前的問題上。

比如，在思考問題時，其潛意識總是想起數學是如何解決自身發展過程中存在的矛盾的;數學是如何在已有的系統中發現相關的結論和問題的，數學是如何解決面臨的新問題的等等。這些思想方法的遷移，常可使人們發現解決問題的新途徑。

所謂數學機智，是指人們在處理有關問題的具體手法上，不知不覺地表現出數學思維的特征，它常常表現為一些解決具體問題的微觀方法或技巧， 這種方法或技巧的湧現是數學觀念長期作用的結果。數學觀念總是要通過數學機智來體現，而每次數學機智的産生，則可能是多種數學觀念綜合作用的結果。

由上面的讨論，我們對“數學是什麼”這個問題的答案已有一個比較清晰的輪廓——

數學可劃分為數學知識，數學活動和數學素質三個方面。其中數學知識包括定義、定理公式法則、問題方法等内容；數學活動又可分為數學創造、數學應用和數學總結三個方面。其中數學創造包括數學建構和數學發現，數學應用包括在數學中的應用和在實際問題中的應用，數學總結包括将複雜的、零散的數學簡單化和系統化；數學素質可分為數學觀念和數學機智。

我們可用框圖表示如下:

其中知識是靜态的，素質是隐式的，隻有數學活動，它既是顯式的，又是能動的，因此數學活動尤其是數學思維活動是數學的核心。

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