微積分學基本定理講解-tft每日頭條

微積分學基本定理講解

圖文更新时间:2024-12-26 22:31:47

我們爬山的時候，山越陡越難爬；騎車的時候，路面的坡度越大越難騎。一個面的坡度越大，傾斜得越厲害，我們就越難上去，那麼，我們該如何衡量這個傾斜程度呢？

微積分學基本定理講解（微積分發展史5:直線和斜率）1

在平面裡畫條一條直線，我們可以直觀地看出這條直線的傾斜程度，而且還不難發現：不管在直線的什麼地方，它的傾斜程度都是一樣的。

所以，我們就可以用一個量來描述這整條直線的傾斜程度，這個概念就被形象地命名為斜率。

那麼，一條直線的斜率要怎麼計算呢？這個想法也很直觀：建一個坐标系，看看直線在x軸改變了Δx時候，它在y軸的改變量Δy是多少。如果Δx是固定的，那麼顯然Δy越大，這條直線就斜得越厲害，斜率也就越大。

微積分學基本定理講解（微積分發展史5:直線和斜率）2

這就跟我們判斷跑步的速度是一樣的道理：給定一個固定的時間，比如10秒（相當于固定的Δx），看看你能跑多遠（相當于Δy），你跑得越遠（Δy越大），我就認為你跑得就越快。當然也可以反過來，給定一個固定的距離，比如100米（相當于Δy），你跑的時間越短（Δx越小），我就認為你跑得越快。

把這兩種情況綜合一下，我們就能發現：固定時間（Δx）也好，固定距離（Δy）也好，最終起決定作用的是Δy和Δx的比值Δy/Δx。這個比值越大，你就跑得越快，對應的直線也就越陡。

所以，我們就可以在直線上随意找兩個點，用它們縱坐标之差Δy和橫坐标之差Δx的比值（Δy/Δx）來定義這條直線斜率。

學過三角函數的同學也會知道，這個斜率剛好就是這條直線和x軸夾角θ的正切值tanθ，即：tanθ=Δy/Δx。這就是說，直線和x軸的夾角θ越大，它的斜率就越大，就傾斜的越厲害，這跟經驗都是一緻的。

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