是數學中至關重要的一個數，相信大家都知道圓周率的含義（圓的周長與直徑的比值），但是大家知道圓周率的值是如何求出的嗎？你知道利用家中常見的針或者小米，也能計算圓周率嗎？
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古典的圓周率求法
古人在很久以前便意識到了圓的周長與直徑的比值是一個定值，并且對這個值進行了粗略的測量，測量方法是直接對圓的周長與直徑分别測量之後作比。
但因古代所繪圓形并不是完美的圓，且測量精度不夠，所以用這種方法得出的
值有較大的誤差，唐朝楊炯所的《渾天賦》一文中寫到：“周三徑一，遠近乖於辰極；東井南箕，曲直殊於河漢。”可見，古代人們認為
。
其實，早在三國時期，中國的數學家劉徽便發明了一種精确計算圓周率的方法：割圓術。這也是中國數學史上第一個從數學上計算圓周率到任意精确度的叠代算法。
割圓術原理：綠色為六邊形，藍色為十二邊形，可以看到十二邊形面積與圓面積更接近，若邊數繼續增加，其面積與圓形就更接近 圖片來源：wikipedia
劉徽割圓術是建立在圓面積計算公式
的基礎之上的。
在割圓術中，劉徽應用了極限的思想，他認為像上圖一樣将圓分割成多邊形，分割得越細，多邊形的邊數越多，多邊形的面積就和圓面積越來越接近，直到最後沒有差别。之後再對多邊形的面積進行計算，我們便可以得到
從而得出
的值。
南北朝時期著名數學家祖沖之用劉徽割圓術計算11次，分割圓為12288邊形，得圓周率
，是此後近千年世界上最準确的圓周率數值。
2
這些圓周率求法，夠有趣
除了利用幾何方法外，圓周率也有一些很有趣的求法，比如像前文中所說的，利用針或者小米來計算圓周率。
18世紀，數學家布豐提出了如下問題：假設我們有一個以平行且等距木紋鋪成的地闆（如下圖），現在随意抛一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的幾率。這就是布豐投針問題。
布豐投針問題 圖片來源：wikipedia
布豐投針答案的得出需要一定的概率論和微積分知識，本文不詳細叙述推導過程。如果針長度為
,平行線之間的長度為
且
,我們可以得到針和紋路相交的概率為：
。
在實際投針過程中，如果我們抛
次針，其中有
隻與紋路相交，那麼此時
。這時候，我們便可以知道
，實際抛針數越多，計算出來的
就越精确。
由于這個方法求
值需要投擲很多次針，可能會有一定的危險。所以，接下來我給大家介紹一種利用一張紙和小米便能夠完成的0危險的計算
的方法——利用圓面積公式的蒙特卡洛方法。
假設我們有一塊邊長為1的正方形的紙，在紙上面畫一個以正方形的一個頂點為圓心，以正方形的邊長為半徑的四分之一圓。那麼我們随機選擇正方形上的一個點，這個點在四分之一圓内的概率是多少呢？
相信聰明的讀者已經給出這個問題的答案了，是四分之一圓的面積比正方形的面積，也就是
。如果我們投擲了
個點，其中有
個在四分之一圓中，那麼我們便可以知道
。
随機投擲點估算
值 圖片來源：wikipedia-nicoguaro
不過想要獲得
的足夠精準的值，我們投擲的次數n需要很大，所以這種實驗一般在計算機上進行，如果我們利用小米與紙張來進行這個實驗的話，可能會需要花費很長時間來對小米進行計數了（當然對我們的眼力也是一個挑戰）。
3
圓周率，無處不在
在數學中有着極為重要的意義，而不是僅僅用來計算圓的面積。有很多時候，
會在你意想不到的問題中突然出現。比如數學中一個知名問題：巴塞爾問題。
所謂巴塞爾問題便是求下級數的和：
。
這個問題首先由皮耶特羅·門戈利在1644年提出，由大數學家歐拉在1735年解決。人們可以比較輕松的演算出這個級數的和大約等于1.644934。
數學家們都沒有想到過這個級數會和
有什麼關系。但是，歐拉在1735年給出的證明指出，該級數的和為
。這讓數學界大跌眼鏡，歐拉也因此聲名大噪。
該級數後來被黎曼所推廣，定義了黎曼ζ函數，這個函數便是數學界最大難題之一“黎曼猜想”的本體。
4
現代的圓周率求法
看完上一節，可能有些讀者想到了一點，既然
那我們可不可以利用這個式子來計算
呢？
畢竟計算自然數平方的倒數和看上去可比割圓省力，也比投針、扔小米靠譜。這個問題的答案自然是可以，現在對于
的計算都是應用級數法來解決的。
但是，利用級數計算
的效果并不好，算到幾百項
的精度還沒有祖沖之來得高。這時，一個神人的出現改變了這個現象，他就是數學鬼才：斯裡尼瓦瑟·拉馬努金。
他慣以直覺（或跳步或稱之為數感）導出公式，不喜歡做證明，而他的理論在事後往往被證明是對的（學生朋友們不要嘗試學習他，這樣考試是不給分的）。
拉馬努金對于數學界有着很大的貢獻，然而可惜的是在32歲英年早逝。他的早逝和20歲早逝的伽羅瓦以及26歲早逝的阿貝爾一樣，是數學界的重大損失。
為什麼說他是數學鬼才呢？讓我們看他自稱“夢到的”幾個公式吧。
一些拉馬努金給出的公式
在拉馬努金的基礎上，數學家提出了現在計算圓周率的常用公式：楚德諾夫斯基公式，利用這個公式，計算一項便能夠給出
的十幾項。現在數學家已經利用這個公式算出了
後的62.8萬億位。
楚德諾夫斯基公式
除此之外，還有一些很有趣的計算圓周率的公式，比如貝利-波爾溫-普勞夫公式（BBP公式），它可以計算圓周率在16進制下的任意位而不用計算前面的位，這讓合作計算圓周率成為了可能。
BBP公式
5
圓周率可以算盡嗎？
從古至今，數學家們都期望着
會有一些特殊的性質，比如被算盡、在某一位後循環，或者被表示成為一些更為簡單的代數式。
然而，這個希望卻被我們前文中提到的伽羅瓦所創立的群論狠狠的擊碎了，這個理論說明
是一個超越數，也就是說
不是任何代數方程的根，其不能被表達為長度有限的代數數組成的代數式的形式，我們隻能用上文中那種無窮級數或者積分來精準表示
的值。
不過數學界對于
有了新的猜想，他們認為
是一個“正規數”，也就是說每一個數在中出現的概率是均等的，這個猜想沒有被證明。
但是，計算機科學家通過窮舉法，證明了
中含有所有的8位數，這意味着我們的生日、我們的畢業典禮、我們的結婚紀念日……一切的日期都會在
中出現，不如現在就去查查自己的生日在
中第幾位？
6
我們有必要了解圓周率嗎？
現在的圓周率計算工作其實已經大大的超出了實用的範圍，利用幾十位的圓周率計算與冥王星軌道半徑相等的圓的周長的誤差已經小于一個原子核的尺度了。
目前對于圓周率的計算主要是為了檢驗超級計算機的計算能力。與尋找梅森素數、孿生素數一樣，對于圓周率的計算是一個超級計算機必須經曆的“大考”。不過，即使是算力再強的計算機，也不能完全計算
，
中仍然隐藏着無窮的秘密，等待着人類前去探索。
或許未來的某一天，人類可以自豪的告慰劉徽、祖沖之、歐拉、拉馬努金等諸多先賢：“我們已經完全了解
了”。
本文由科普中國出品，中國科普博覽監制
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