作者：孟子楊（中科院物理所副研究員）

解題

北京的春天，短暫而狂躁，萬物的複蘇和生長都在讓人猝不及防的時間中完成，該發生的和不該發生的事，都在一場沙塵暴、幾場春雨和幾場霧霾的夾裹之下，生生地走進這熙熙攘攘的世相裡，讓人隻有接受的份兒。

生活在這樣狂躁之中的人，很難不被如此的氣氛所影響和蠱惑，做出些本來可以不做、幾年後回想會臉紅追悔的事兒來。就算是在相對平靜的自然科學研究圈子裡，春天也讓人變得狂躁。目之所及，就看到有的人上下交通、攀附權貴，想在科研投入的大餅中多切下一塊來；有的人炒作概念，利用社會大衆的知識缺陷和獵奇心理，哄騙着不少不明就裡的學生走上研究的不歸路；有的人酷愛折騰，不斷地舉行重複性的學術會議，以所謂聚集人氣的方式哄擡自身的學術地位。種種動作，往往偏離了科研的本意，但是在表面上制造出一派熙熙攘攘熱熱鬧鬧的混亂局面，讓人看不清底細，隻有接受的份兒。接受者還好，可惜的是盲從和鹹與維新者，最後追悔的，往往是這些人。

入題

在這樣混亂嘈雜的春天裡，哪裡能找到寂靜，哪裡能找到新的生機醞釀時靜默卻不可阻擋的力量，是考驗從業人員實力、修為和氣魄的大問題。春天當然是動态的，但是動态要有一個靜的表面，新發現孕育的時候如林間的野花幼苗，陽光雨露之下靜卻決絕。一開始就熙熙攘攘熱熱鬧鬧，混淆了心智，耗盡了力氣，怎麼可能看到成熟和收獲呢？

就是在這樣的考慮之下，筆者和朋友們決定在凝聚态物理學量子多體計算的領地中，在這個春天裡培育一株幼苗，小心地澆灌它，期望它成長為凝聚态物理學量子多體計算領地中的大樹。這株幼苗，就是量子多體系統的動力學性質計算。

量子多體系統的動力學性質計算，筆者在之前的文字中有過介紹【1】，涵蓋量子多體系統的譜學和輸運行為計算，比如關聯電子材料中的準粒子譜，量子磁學和高溫超導系統中的自旋激發譜，還有關聯電子材料中最基本的電阻、熱輸運測量等等。這些能量、動量、溫度依賴的響應函數中蘊含着量子多體系統的本質信息，而且它們就是凝聚态物理實驗直接測量的物理量，比如角分辨光電子譜測量的就是關聯電子材料的電子結構（即準粒子能譜），而中子散射、核磁共振測量的就是量子磁學材料中的自旋激發譜。電阻和輸運測量的重要性更是自不待言，遠有近藤、量子霍爾效應，近有銅基、鐵基高溫超導體中的非費米液體行為，都是由電阻和輸運測量所揭示的現象。然而，如筆者在之前的文字【1】中所寫，動力學性質計算，從理論上來講是十分困難的問題，這關乎準确計算指數多的、強烈相互作用的自由度的時間演化，是幾近不可能完成之任務。動力學性質計算是量子多體系統理論發展中的核心問題，它的解決可以讓凝聚态物理學中許多難題，比如高溫超導機理和量子相變臨界行為的完整描述，得到徹底地解釋。

完整地解決量子多體系統動力學性質計算的問題，茲事體大，目前并沒有統一的方案。我們所進行的研究，是發展和應用以量子蒙特卡洛（quantum Monte Carlo, QMC）和随機解析延拓（stochastic analytic continuation, SAC）為代表的大規模數值計算方法，通過合理地設計量子多體系統理論模型，定量地計算其動力學性質，然後把結果與以場論、重整化群為代表解析方法得到的定性預期進行比較，得到統一的認識之後，再用來解釋和指導實驗觀測。這樣數值、解析結合，再來對比和預言實驗現象的方法，就是量子多體問題動力學計算的方向。在之前的文字中【1】，筆者講述了這樣的方法在二維反鐵磁海森堡模型能譜計算中取得的結果，并且和最新的中子散射實驗進行了定量的對比，這是一個基準性的工作【2】，算對了，和實驗對上了，我們才開始下面的工作，才有了下面的文字。

正題

在這個狂躁的春天裡，我們努力讓自己靜下心來，不随波逐流、鹹與維新，而是默默地完成了幾個量子多體問題動力學計算的新事例。這篇文章分為兩個部分，分别介紹其中的兩個事例。一個是自旋液體存在的指紋，揭示了對稱性分數化在具有拓撲序的量子自旋液體中，在自旋激發譜上的特殊表現形式【3】；另一個是去禁閉量子臨界點譜學行為的展示，給出了分數化的自旋子實驗觀測行為的預言【4】。這兩個例子都是量子物質科學新範式的代表，超越了傳統的、以序參量和對稱性破缺為圭臬的朗道-金茲伯格-威爾森（LGW）相變和物質分類理論框架。

事例一

量子自旋液體是拓撲序的材料實現，尤其是有能隙的自旋液體，是 LGW 對稱性破缺理論框架之外的物質形态，自旋液體中的分數化的元激發，是超越玻色子、費米子這樣傳統基本粒子分類的任意子（anyon），展現着長程量子糾纏的效應。量子自旋液體的理論發展，深入而蔚為大觀，除了上面提到的分數化，任意子，長程量子糾纏等基本概念之外，拓撲糾纏熵、任意子凝聚與相變、對稱性的分數化等等新的理論進展層出不窮。除了物理學家之外，數學家正在從張量範疇的角度理解這些問題，信息學家正在從量子信息的角度尋找可能的應用。但是，一個有些尴尬的事實是，物理學家還不知道該用什麼樣的實驗手段，通過什麼樣的實驗信号，可以确認量子自旋液體的存在和其所具有的特定的拓撲序。

在工作【3】中，我們通過動力學性質的計算給出解決方案。特定的拓撲序和其中任意子對稱性分數化行為，可以在系統的自旋動力學性質中，也就是中子散射技術可以探測的自旋激發譜中，找到答案。

Fig.1 (a) Kagome 晶格量子自旋液體模型。J _/-, J_z, J'_z為自旋之間的相互作用。A, B, C 為 Kagome晶格原胞中的三個格點。r₁, r₂是原胞之間的平移矢量。(b) Kagome 晶格的布裡淵區，b₁,b₂是動量空間中的平移矢量。Γ, M, K 為布裡淵區中的高對稱點，連接高對稱點之間的路徑是自旋激發譜中動量的取值路徑。(c) 和 (d) 是模型的基态相圖。其中 (c) 為外磁場為零的情況，系統沒有靜磁矩 m=0。(d) 為外磁場不為零的情況，系統的靜磁矩 m=1/6。在兩種情況下，量子自旋液體相 (QSL) 都穩定存在【5】。沿着圖中的紅線，它們都會發生 vison 凝聚的相變進入對稱性破缺的共振價鍵 (VBS) 相。在相變點附近，兩種自旋液體的動力學行為不同，體現了其中vison 元激發的不同對稱性分數化。

我們設計了 Fig.1 (a) 中的 2維 Kagome 晶格阻挫磁體模型，該模型可以用量子蒙特卡洛嚴格計算【5】，得到的相圖如 Fig.1 (c) 和 (d) 所示。兩個相圖中都有量子自旋液體相(quantum spin liquid, QSL)，這裡的QSL 具有 Z₂拓撲序，元激發是分數化的任意子： spinon 和 vison。Fig.1 (c) 和 (d)中的相圖裡，系統具有不同的外磁場的強度。Fig.1 (c) 中外磁場為零，QSL 沒有靜磁矩 (m=0)。Fig.1 (d) 中外磁場為有限值，系統有一個磁性背景 (m=1/6)。

Spinon 和 vison 做為Z₂拓撲序中的任意子，其統計具有交換編織的性質，這也是任意子不同與傳統粒子 （玻色、費米）的地方。在沒有靜磁性的量子自旋液體中 (m=0)，vison 在系統中運動的時候，會看到每個 Kagome 晶格原胞中有奇數個 spinon。這可以理解為 Kagome 晶格的每個6邊形中的自旋 Sz 處在3上3下的狀态，3是奇數，奇數模2總是1，所以vison 在晶格上運動時就會和每個原胞中的 1個spinon 交換 ，從而帶上了一個 π-flux 的相位，vison 的原胞也就比 Kagome 晶格原胞大了一倍，也就是說，vison 波函數的晶格平移對稱性，由于 vison 和 spinon 之間的交換編織在 m=0 的 QSL 相中發生了分數化。而在另一方面，在有靜磁性的量子自旋液體中 (m=1/6)，vison 在晶格上運動時看到每個 Kagome 晶格原胞中有偶數個 spinon。這可以理解為Kagome 晶格的每個6邊形中自旋Sz處在 4上2下或者4下2上的狀态，4和2都是偶數，偶數模2總是0，所以vison 在晶格上運動時與 spinon 交換偶數次，也就不會感受到任何相位調制，vison 的原胞和 Kagome 晶格原胞一樣大 ，vison 波函數仍然具有 Kagome 晶格原本的平移對稱性，沒有發生分數化。

如上的理論分析，乍一看十分抽象，但是卻預示着明确的動力學行為上的不同。在 Fig.1 (c) 和 (d) 中有兩條紅線，就是指出 m=0 和 m=1/6 的量子自旋液體，在向着同一個方向調節自旋相互作用時，都會發生相變進入共振價鍵相 (valence bond solid, VBS)。在相變發生的時候， vison 做為相關的元激發，會發生關閉能隙的凝聚行為。一般來說，普通的凝聚行為，比如玻色-愛因斯坦凝聚，在激發譜上會在動量為零（Γ = (0,0) 對于二維晶格）處關閉能隙，動量為零也就意味着實空間中所有的位置上都發生了同樣的現象。但是記得在 m=0 的QSL 中 vison 的平移對稱性已經發生了分數化，這就意味着此時 vison 發生凝聚的過程中，它們會在每隔一個格點的實空間原胞上發生凝聚。對應到動量空間，系統的自旋激發譜會在除了 Γ 點之外，在布裡淵區邊界的中點（M點）上也發生能隙關閉。而對于m=1/6 的QSL，其中 vsion 的平移對稱性沒有發生分數化，在 vison 發生凝聚的過程中，系統的自旋激發譜隻會在 Γ 發生能隙關閉的現象。如此明确的動力學行為上的區别，就是 Fig.2 中通過 QMC SAC計算所得的結果。

Fig.2 (a) m=0 量子自旋液體在 QSL-VBS 相變點附近的自旋激發譜，對應于 Fig.1 (c) 中紅色路徑。可以看到自旋激發譜在動量為 Γ 和 M 兩個點，都關閉能隙，這正是Z₂QSL 中 vison 對稱性分數化的結果。Inset 是 VBS 相中的靜态自旋結構因子。因為 vison 的凝聚發生在 Γ 和 M 點，VBS 相的自旋結構因子在 Γ 和 M 點上都有峰，VBS 長程序破壞了 Kagome 晶格平移對稱性。(b) m=1/6 量子自旋液體在 QSL-VBS 相變點附近的自旋激發譜，對應于 Fig.1 (d) 中紅色路徑。自旋激發譜隻在動量為 Γ 的一個點關閉能隙。因為這裡的 vison 沒有發生對稱性分數化。 Inset 是 VBS 相中的靜态自旋結構因子。因為 vison 的凝聚隻發生在 Γ 點，VBS 相的自旋結構因子隻在 Γ 點上有峰，VBS 長程序具有 Kagome 晶格的平移對稱性。

在Fig.2 (a) 中，我們畫出了QMC SAC 計算所得的自旋激發譜，這是 m=0 的量子自旋液體，在即将放生 QSL-VBS 相變時的情形，可以清楚地看到，對于 m=0 的自旋液體，其自旋激發譜（就是中子散射可以測量的）在動量空間中兩個點（Γ, M）都有能隙關閉的迹象。而在 Fig.2 (b) 中，我們畫出了QMC SAC 計算所得的自旋激發譜，這是 m=1/6 的量子自旋液體，在即将發生QSL-VBS 相變時的情況，可以清楚地看到，對于 m=1/6 的自旋液體，其自旋激發譜隻在一個點 （Γ） 關閉能隙。如 Fig.2 (a) 和 (b) 中所顯示的兩種情況下的不同自旋激發譜，童叟無欺，大家都能看得明白。這樣一來，就解除了量子自旋液體現象（比如拓撲序和對稱性的分數化等等抽象概念）本不該有的神秘性。除了理論物理學家之外，實驗物理學家和普通的學生都能夠看得明白。隻要去測系統的自旋激發譜，就可以看到 Z₂QSL的平移對稱性分數化；而觀測到這樣明确的動力學行為，也反過來提供了 QSL 和其中的分數化的任意子存在的證據。這是很及時的結果，因為目前在量子自旋液體材料尋找的過程中，在中子散射實驗中看到能量 (ω) – 動量 (q) 空間中連續譜并不困難，但是這并不意味着連續譜就是自旋波磁振子 (magnon) 分數化為自旋子(spinon) 或者其他任意子的證據。因為人們發現，在許多量子自旋液體的候選材料中，連續譜即可能來自于真正的自旋液體态，但也可能是材料中雜質散射所導緻的假象，極有誤導性，文獻【6】中的研究，就是關于材料中雜質導緻量子自旋液體假象的一個很好的例子。顯然，隻有如 Fig.2 中明确的動力學信号，才是指導實驗進一步前進的坦途。

事例二前的小結

這篇文章讨論兩個量子多體問題動力學研究的例子。事例一是量子物質科學新範式中物質形态（量子自旋液體）方面的代表；在文章的下一部分中，我們将會讨論動力學行為在量子物質科學新範式中量子相變（去禁閉量子相變）方面的代表，感興趣的讀者，可以先用參考文獻中的【4，7，8，9】預習一下。

要之，通過以量子蒙特卡洛為代表的大規模數計算拟方法，結合場論等解析手段，理解、刻畫并預測關聯電子系統的動力學行為，推動理論和實驗的進展，這樣的工作才剛剛開始。如上面的事例所顯示的，以量子自旋液體、去禁閉量子臨界現象、非費米液體現象為代表的量子多體現象，正在日益動搖着凝聚态物理學中朗道-金茲伯格-威爾森相變理論和費米液體理論等傳統的框架。以拓撲序、分數化、物質場與演生規範場耦合為代表的新的進展，正在呼喚着量子物質科學新範式的建立。在這個過程中，量子多體問題的動力學性質計算，打通了數值、理論與實驗的界限，必将扮演着越來越關鍵的角色。

參考文獻

[1] 海森堡模型的譜，到底有多靠譜

[2] Nearly deconfined spinon excitations in the square-lattice spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet, Hui Shao, Yan Qi Qin, Sylvain Capponi, Stefano Chesi, Zi Yang Meng, Anders W. Sandvik

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[3] Dynamical Signature of Symmetry Fractionalization in Frustrated Magnets,

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[4] Dynamical Signature of Fractionalization at the Deconfined Quantum Critical Point,Nvsen Ma, Guang-Yu Sun, Yi-Zhuang You, Cenke Xu, Ashvin Vishwanath,

Anders W. Sandvik, Zi Yang Meng

[5] Quantum Spin Liquid with Even Ising Gauge Field Structure on Kagome Lattice,

Yan-Cheng Wang, Xue-Feng Zhang, Frank Pollmann, Meng Cheng, Zi Yang Meng,

[6] Spin-Glass Ground State in a Triangular-Lattice Compound YbZnGaO4,

Zhen Ma, Jinghui Wang, Zhao-Yang Dong, Jun Zhang, Shichao Li, Shu-Han Zheng, Yunjie Yu, Wei Wang, Liqiang Che, Kejing Ran, Song Bao, Zhengwei Cai, P. Čermák, A. Schneidewind, S. Yano, J. S. Gardner, Xin Lu, Shun-Li Yu, Jun-Ming Liu, Shiyan Li, Jian-Xin Li, and Jinsheng Wen,

Phys. Rev. Lett. 120, 087201 (2018)

[7] 西斯廷教堂中的對偶變換

[8] Evidence for Deconfined Quantum Criticality in a Two-Dimensional Heisenberg Model with Four-Spin Interactions,

Anders W. Sandvik,

Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007)

[9] Quantum criticality with two length scales,

Hui Shao, Wenan Guo, Anders W. Sandvik,

Science 352, 213-216 (2016)

緻謝

一如既往，筆者感謝合作者，感謝團隊在這兩篇工作【3，4】中的辛勤付出。這裡有中科院物理所的博士生孫光宇，博士後馬女森、王豔成，副研究員方辰，波士頓大學和中科院物理所教授 Anders W. Sandvik （善德偉），複旦大學副教授戚揚，耶魯大學助理教授程蒙，加州大學聖地亞哥分校助理教授尤亦莊，聖塔芭芭拉分校副教授許岑珂，哈佛大學教授 Ashvin Vishwanath；感謝國家超級計算天津中心孟祥飛博士、趙洋工程師等人對我們大規模蒙特卡洛計算所提供的資源、技術方面的有力支持；也感謝中科院物理所寬容的環境，保護着科研人員們，讓我們可以在混亂嘈雜的背景之下，不随波逐流，遵從内心的方向認真地從事創造。真正的科學發現，離不開這樣的環境。

編輯：山寺小沙彌

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