含字母系數的一元一次不等式（組）整數解問題是不等式（組）中常見的難題，許多學生過不了這一關，認為真的是太難了。下面我們以師生對答的方式一起來解決這類問題。

（一）不等式最小整數解

題：已知關于x的不等式(x k)/2-(x-2)/3>k 1的最小整數解為x=2，求k的取值範圍．

生：老師，要不要先把不等式的分母去掉進行化簡？

師：好主意。不等式兩邊乘以6，去分母，得

3（x k）-2(x-2)>6(k 1)，

此時要注意防止漏乘右邊不含分母的(k 1)。

去括号，得：3x 3k-2x 4>6k 6，

移項、合并同類項，得：x>3k 2.

移項要注意變号。

生：做到這一步不難。可是接下來怎麼辦呢？

師：接下來注意原不等式的解與x>3k 2的解是相同的。想一想：如何才能使不等式x>3k 2的最小整數解是x=2呢？

生：是不是3k 2=2?

師：你想，如果3k 2=2，那麼不等式變成了x>2，它的最小整數解時x=2嗎？

生：不是。x>2的最小整數解是x=3。差一點。啊，我知道了，3k 2應比2小一點。

師：正确。究竟要小多少呢？

生：反正就是要使3k 2<2就是了。

師：你真聰明。由3k 2<2，得：k<0.

生：所以k的取值範圍是k<0。

師：不！這僅是k取值範圍的一部分。

生：難道k的取值範圍還要受到其他方面的限制？

師：正是。你想，如果k的取值範圍僅是k<0，那麼當k=-1時，3k 2=-1，不等式為x>-1，它的最小整數解是多少？

生：是x=0。

師：你看，不合題意了吧？

生：為什麼會這樣呢？

師：這說明了我們求得的k的取值範圍太大了，k的取值範圍還需要受到限制。剛才求得的k<0是對k的最大值進行了限制，接下來還應限制它的最小值範圍，不能讓它取太小的值。

生：怎麼限制呢？

師：注意不等式是x>3k 2，要使它的最小整數解是x=2，你說3k 2=0可以嗎？

生：不可以的。

師：為什麼？

生：如果3k 2=0，那麼不等式為x>0，它的最小整數解為x=1。

師：對了。如果3k 2=1可以嗎？

生：可以的。如果3k 2=1，不等式為x>1，它的最小整數解是x=2，符合題意。

師：完全正确。此時由3k 2=1，解得k=-1/3。再想一想：k的值還好能比-1/3小嗎？

生：如果k的值比-1/3小，那麼3k 2的值就比1小，此時x>3k 2的最小整數解就不是2了。可能是x=1或比1更小的。

師：對極了。所以k的最小值是-1/3。所以k的取值範圍是-1/3≤k<0.

生：這種解法也太繁瑣了吧？

師：你說的一點都沒錯。跟你講這個方法的目的是讓你感受一下字母系數取值對不等式最小整數解的影響。下面進入正題，給你講一下簡單的解法：

首先，理解一下如下關于不等式解與非解的兩個結論：

（1）不等式的解：如果x=m是不等式ax>b（或ax<b）的解，則am>b（或am<b）．

（2）非不等式的解：如果x=m不是不等式ax>b（或ax<b）的解，則x=m是不等式ax≤b（或ax≥b）的解，從而am≤b（或am≥b）．

有了這兩個結論，上面問題的解法就相當簡便了：

不等式x>3k 2的最小整數解是x=2，這句話有兩個意思：第一，x=2是不等式x>3k 2的解，所以不等式中的x用2代替，得不等式：2>3k 2，解得k<0；

第二，要保證x=2是不等式x>3k 2的最小整數解，你說哪個整數不能是它的解？

生：比2小的整數。對了，x=1不能是它的解。

師：非常正确。隻要再保證x=1不是不等式x>3k 2的解，那就可以保證不等式x>3k 2的最小整數解是x=2了。根據上述結論（2），x=1不是不等式x>3k 2的解，它一定是哪個不等式的解呢？

生：是x≤3k 2的解。

師：對極了。把x=1代入不等式x≤3k 2，得1≤3k 2，解得k≥-1/3.

所以k的取值範圍是-1/3≤k<0.

練習： 已知關于x的不等式(x-k)/2-(x-3)/3>1-k的最小整數解為x=3，求k的取值範圍．

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