本文将由皮亞諾公理出發，詳細介紹有關自然數的算數屬性以及基本性質，并證明推論 1 1 = 2。本文不涉及任何高深的數學知識，适合任何學曆讀者。

1 1 = 2

在上一篇文章中，我們詳細介紹了一些基本數學術語的概念以及區别。對于大多數學生來說，自然數集是學習數學時最早接觸的範疇，它也是最基礎的數學知識之一。構建自然數以及定義其算數屬性的是皮亞諾公理，這意味着諸如 1 1 = 2 這類算式是可以被證明的。接下來将介紹幾個重要的數學概念，并引出皮亞諾公理。

自然數

在一個集合 S 中，一個二元關系 ～ 被稱為等價關系，當且僅當其具有自反性，對稱性以及傳遞性。換而言之，～ 是等價關系當且僅當對于任意 a, b, c 屬于 S：

a ~ a (自反性)

a ~ b 當且僅當 b ~ a (對稱性)

若 a ~ b 且 b ~ c，則 a ~ c (傳遞性)

等價

在數學上，如果兩個量具有相同的值，或者更一般來說，兩個數學表達式表示相同的數學對象，那麼這兩個量或數學表達式之間的關系被稱為相等。A 和 B 相等可以表示成 A = B，其中符号 “=” 被叫做等号。

根據《幾何原本》中的第一條公理：

公理 1：等同于相同事物的事物會互相等同。

不難驗證，相等是一種等價關系。相等的概念在皮亞諾公理中有很重要的作用。

自然數是指用以計量事物的件數或表示事物次序的數。根據國際标準化組織制定的标準 ISO 80000-2，自然數集即非負整數集（正整數和 0 的集合），用 N 表示：

N = { 0, 1, 2, 3, … }

國際标準化組織定義的自然數集

皮亞諾公理定義自然數的算數屬性。這一套公理涉及一個常數符号 0 以及一個一元函數 S。需要注意的是，自然數集中的元素以及元素符号并不是由皮亞諾公理定義的，而是由國際标準化組織定義的。若改寫自然數集中的某些常數符号（比如将所有的 1 替換成别的符号）會違背國際标準化組織定制的标準，但不會對皮亞諾公理定義的算數屬性造成影響。但是，僅僅隻有一堆符号的集合是沒有辦法刻畫元素之間的性質的，這就是皮亞諾公理的重要性所在。

首先考慮，自然數集可不可以是空集？顯然這是不合理的。因此便有了第一條公理：

公理一：0 是自然數

公理一說明自然數集非空，并且有元素 0 。但是隻有一個元素 0 是無法構成自然數集的，我們還需要說明每一個自然數後面必然有另一個自然數。我們借助一個一元函數 S 來描述第二條公理：

公理二：對任意自然數 n，S(n) 是自然數

我們把一元函數 S 稱為後繼函數，自然數 S(n) 叫做自然數 n 的後繼數。函數 S 其實描繪的是自然數集中每個自然數和它的後繼數之間的對應關系。公理二說明自然數對于 S 是封閉的，并且根據映射的規則，每一個自然數 n 對應唯一一個後繼數 S(n)。那麼從 0 開始，S(0) 是 0 的後繼數，而 S(0) 作為自然數也有它的後繼數 S(S(0))，這樣一直重複下去。因此，我們用一個直觀的圖來刻畫自然數結構如下：

理想中的自然數的結構

其中我們定義箭頭由自然數 n 指向它的後繼數 S(n)。

那麼問題出現了，要是 0 的後繼數 S(0) = 0 怎麼辦？這種情況下自然數集就隻由 0 組成，并且箭頭永遠是 0 指向 0，如下圖所示

隻滿足公理一、二的反例

除此之外，0 是否可以是某一個自然數的後繼數？這種情況下自然數就不是從 0 開始，如下圖所示

隻滿足公理一、二的反例

對于這兩種情況，我們可以歸結為，是否存在一個自然數 n，使得它的後繼數 S(n) 等于 0 ？這顯然是不合理的。因此第三條公理如下陳述：

公理三：不存在自然數 n，使得 S(n) = 0

公理三說明， 0 不是任何自然數的後繼數。既然 S(0) 不等于 0，根據國際标準化組織定制的标準，我們把 S(0) 記作 1，1 是 0 的後繼數。那我們繼續思考，S(1) 等于多少？S(1) 可以等于 0 嗎？公理三告訴我們 S(1) 不等于 0；那 S(1) 可以等于 1 嗎？目前沒有辦法否定這種情況，但是情況下，自然數就可以是一個隻包含 0 和 1 兩個元素的集合，并且 S(0) = 1, S(1) = 1，如下圖所示：

隻滿足前三條公理的反例

除此之外，1 是否可以是多個自然數的後繼數？如下圖所示：

隻滿足前三條公理的反例

這兩種情況有一個共性，就是有多個自然數對應同一個後繼數，這破壞了映射中單射的條件，因此我們隻需要對映射 S 加上單射的條件即可，第四條公理如下陳述：

公理四：對于任意自然數 m, n，S(m) = S(n) 當且僅當 m = n

根據公理四來看，S(1) 絕不可能是 1，否則 S(0) = S(1) = 1，違背了公理四。根據國際标準化組織定制的标準，我們把 S(1) 記為 2，2 是 1 的後繼數。那麼同樣，S(2) 不可能是 0 或 1 或 2，我們同樣可以用 3 來表示 S(2)，這個過程可以無限進行下去，這是因為每一次标記的後繼數不可能是 0 或者是之前标記的任何一個數，否則會違背公理四，所以隻可能是一個新的數。

由這四條公理所确定的自然數集仍然存在漏洞，比如下面這種情況：

隻滿足前四條公理的反例子

在這種情況中，0，1，2，… 依舊屬于自然數，不過它多了另一條以 n0 為首的長鍊，而這兩條鍊不存在公共元素。不難驗證，這種結構符合公理一至公理四，但顯然不是我們想定義的自然數集的結構。為了排除這種情況，我們隻需要從 0 開始不斷取後繼數，最後可以遍曆自然數集即可。公理五如下陳述：

公理五（歸納公理）：若集合 K 是自然數集 N 的一個子集，滿足：

1. 0 屬于 K

2. 對于任意 n 屬于 K，有 S(n) 屬于 K

那麼集合 K 等于自然數集 N.

歸納公理常常有另一種表述：

公理五（歸納公理）：若 f 是一個單參判斷式，滿足：

1. f(0) 為真

2. 對于任意自然數 n，若 f(n) 為真那麼 f(S(n)) 為真

那麼對于任意自然數 n，f(n) 為真.

歸納公理确保了數學歸納法的正确性。這五條公理很嚴謹地定義了自然數的算數屬性。

加法和乘法都是二元運算，換言之，是将兩個自然數映射到另一個自然數的函數。

其中，加法的遞歸定義為：

對于任意 a, b 屬于 N，

0 a = a,

S(a) b = S(a b)

類似的，乘法的遞歸定義為：

對于任意 a, b 屬于 N，

a x 0 = 0,

a x S(b) = ab a

下面列舉一些常見的自然數加法和乘法的性質，并附上證明。

引理：對于任意自然數 n，S(n) = n 1

引理：對于任意自然數 n，n 0 = n

加法結合律：對于任意自然數 a, b, c，

( a b ) c = a ( b c )

加法交換律：對于任意自然數 m, n，

m n = n m

引理：對于任意自然數 n，0 x n = 0

引理：對于任意自然數 m, n，S(m) n = mn n

乘法分配律：對于任意自然數 a, b, c,

a ( b c ) = ab ac

乘法結合律：對于任意自然數 a, b, c,

(ab)c = a(bc)

乘法交換律：對于任意自然數 m, n，

mn = nm

至此，本文已經介紹完皮亞諾公理以及自然數的算數屬性以及基本性質，并且證明了推論 1 1 = 2，希望大家對于自然數能有更深刻的理解。

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