男，中學一級教師，研究方向：初等數學，紹興魯迅中學任教，柯橋區百名優秀青年教師，在《中學數學雜志》，《中學數學教學》，《數學教學通訊》《數學通訊》等期刊發表多篇論文。

一、文章摘要

浙江高考、學考對絕對值函數的考查素來情有獨鐘，熱度可謂持續不減。絕對值的應用本身就是一個重要的數學概念，衆多文獻資料對絕對值問題的處理方法列舉頗多，層出不窮，本文從另外的視角，對雙絕對值問題帶來新的認識。

二、試題呈現

2018 年8 月浙江20 校聯考填空題壓軸題（第17 題）

筆者在閱卷的過程中，發現得分率幾乎為零。在與學生的交流中發現，此題對學生而言，有一種最熟悉的陌生人的感覺。熟悉的是題目條件又是絕對值形式，問題也是熟悉的最值嵌套問題，陌生的則是此題該如何下手，如何成功地破解題中的雙絕對值。

三、常規解法

這道題主要考查的是雙絕對值函數最值的求解，考驗學生的閱讀理解能力，轉化能力，對絕對值不等式的理解與應用的能力。下面筆者先談談這個試題的常規解法：

如何處理這兩個絕對值呢，有以下的三種視角：

視角一：利用絕對值三角不等式

解法1：由二次函數的性質可知

視角二：以形助數，利用圖像處理絕對值函數值域

視角三：利用絕對值的幾何意義

點評：以上三種方法應該說是解決絕對值函數問題最基本的手段，三種方法核心之處在于都用了一個重要恒等式 |a| |b|=max｛|a b| ,|a-b|｝，其本質是把兩個絕對值問題轉化為一個絕對值問題進行研究，自然可以從絕對值函數圖象與值域，絕對值三角不等式，以及絕對值的幾何意義等方面思考，水到聚成。

四、新的解法

如前解法，我們習慣于利用降維的思想，将兩個絕對值減為一個絕對值，其實兩個絕對值之和結構本身也具有良好的幾何意義。筆者仍從三個不同的幾何視角給出新的認識。

視角四：我們知道在線性規劃裡|x| |y|=1是一個對角線長度為2的正方形，那麼|x| |y|=k呢？顯然可以當成對角線長度為2k的，并随着k 的變化可以縮放的正方形。

同樣的方法我們可以巧妙而快速地解決2017 年浙江金華十校模拟卷中的填空壓軸題，如下：

再比如2018 紹興市高一第二學期期末卷中選擇題壓軸題，如下：

視角五：兩個絕對值之和除了幾何意義可以表示為四邊形外，還有什麼其他意義呢？其實在現實生活中也有它的背景-----曼哈頓距離i

點評： 本解法将目标式子視為“曼哈頓距離”的視角非常精巧，後面兩動問題的處理也順理成章，但分類讨論的能力要求較高。如果隻是填空題，不少學生和老師會直接取臨界狀态，雖然少了解法中的嚴格說明過程，但也不失為一種巧解。

其實“曼哈頓距離”在高考中出現很多次，甚至可以有更多的形态，包含了很多變形與創造，形如2014 江西高考理科第11 題。

而2014 年的浙江高考理科第10 題，“曼哈頓距離”若隐若現。

視角六：分拆函數，V 型函數開路

點評： 本解法是用動靜分離的手段，将不等關系轉化為兩個函數圖象的位置問題。尤其是兩動問題，“一定一動，先定後動，逐步調整”的原則更是重要。

五、解後反思

新的視角呈現的三種解法，也是對兩個絕對值處理的一種新的理解。從此題的探究過程中，我們有這樣的認識，雙絕對值直接理解就是兩個點之間的曼哈頓距離，若是換一個視角那麼雙絕對值的幾何意義可以認同為正方形的對角線長度。我們在解題中若是從不同視角多樣化處理，那麼我們的問題會變得層次分明，更有意思，我們學習數學的興趣也會被更好地激發。

浙江高考《考試說明》明确指出高考試題對學生的個性品質提出了要求。何謂個性品質？個性品質是指學生個體的情感，态度和價值觀，提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，形成锲而不舍的鑽研精神和科學态度。具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會數學的美好意義。

筆者認為，作為教師，我們首先要自己打開解題的思維，在教學過程中盡可能增加一些視角，方能在課堂上引導我們的學生去嘗試用不同的眼光審視數學的問題，感受數學解題過程中的樂趣，思考哪種思維方式更适合自己，從而塑造自己獨特的個性品質。

六、參考文獻

[1]鄭日峰. 《數學每日一題》浙江大學出版社2017.6

[2]甘大旺.探究高考中的直角折線距離的問題. 中學數學雜志.2015.7

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