二階常系數線性微分方程怎麼求-tft每日頭條

二階常系數線性微分方程怎麼求

教育更新时间:2025-01-29 11:08:11

二階常系數齊次常微分方程，指的就是那些形如y'' py' qy=0的微分方程

如果是形如y'' py' qy=f(x)的微分方程，就叫做二階常系數線性微分方程

顧名思義，就是有二階導數的微分方程，且p、q是實數

下面給出一道例題，能夠更加直觀的體現

二階常系數線性微分方程怎麼求（二階常系數齊次常微分方程求解）1

圖一

如圖所示，通過這道題我們可以知道很多信息點

其一，這種含有未知函數以及其導數的關系式就是微分方程

其二，這是一個一元函數，所以被稱為常微分方程

其三，我來提供一下解答這道題的思路

我們知道，在求二階常系數齊次常微分方程的時候，往往有這些公式

二階常系數線性微分方程怎麼求（二階常系數齊次常微分方程求解）2

圖二

這裡有一個點要解釋一下，就是共轭複根，可能有些小夥伴對這個概念不是很理解

共轭複根:指的是兩個實部相等，虛部互為相反數的複數根

好，知道這些概念之後我們就可以去做了

二階常系數線性微分方程怎麼求（二階常系數齊次常微分方程求解）3

圖三

如圖所示，是我自己寫的過程，當時在做的時候，看到這道題我想到了特征方程，但是當求出p^2-4q<0之後我就懵了，咦，這道題好像沒根啊，但事實上我錯了，這就是基礎不牢固的原因，要是基礎牢固怎麼會犯這樣的錯誤

所以我去查閱資料，然後仔細思考，哦，這道題是微分方程，p^2-4q<0得到的結果就是共轭複根，然後我竟然不清楚共轭複根是什麼，再去查，哦，原來共轭複根是這個式子

總的來說，我才發現這道題目真的非常非常基礎，不應該卡住的，卡住了隻能說明自己的能力不夠，不能怪别人，還是要多多努力啊，下面給出完整的解答過程

二階常系數線性微分方程怎麼求（二階常系數齊次常微分方程求解）4

圖四

但是當我完整做完這道題之後，我又産生疑問了

為什麼通解中會有cos和sin出現呢

知道r的時候，我們又怎麼來解出y的結果呢，原來通解中就用到了r，即

二階常系數線性微分方程怎麼求（二階常系數齊次常微分方程求解）5

圖五

那當它是共轭複根的時候，又是怎麼解出cos和sin的

這時我們不得不提到歐拉公式

歐拉公式我這裡不多做解釋了，給出過程，大家自己理解一下

二階常系數線性微分方程怎麼求（二階常系數齊次常微分方程求解）6

圖六

是不是覺得這樣很方便呢

總結一下，我們在做題的時候一定要萬分注意，公式公式公式，真的很重要！

有這些公式，能夠幫助我們做題事半功倍，前提條件是不要記錯！

在記憶的前提下進行理解

好好吃透這些題，再簡單的題都有方法，而方法是共同的，與大家共勉，加油努力奮鬥！

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