當我們說到p-value時，我們在說什麼？

“這個變量的p-value小于0.05，所以這個變量很重要”

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你真的知道自己在說什麼麼？？？這個p-value到底是個什麼鬼？為什麼小于0.05就很重要？很重要是什麼意思？？？？？

終于...

這次，我們通俗易懂地來講講到底什麼是p-value（p值）。

在講p-value之前，我們用擲硬币來舉個例子。

硬币有正反兩面，在概率中我們知道，出現正反面的概率各為50%（1/2），所以作為一個正常的硬币，如果我們投無限次後，結果一定會是正反各占50%。但是，如果我想知道自己手中的硬币，到底是不是正常的硬币，有沒有做過手腳，在實際操作中是沒辦法投擲無限次的。因此，我們隻能用有限的結果來判斷“硬币是否為常規硬币”這個問題的答案。

在統計學上，做這個檢驗時，通常會設定一個虛無假設（也叫零假設，Null Hypothesis），通常記作H0。以及一個對立假設（Alternative Hypothesis），及與虛無假設對立的假設，如果證明虛無假設錯誤，則可以推出對立假設成立。

在擲硬币這個例子中，我們可以設定

H0: 手中的硬币是常規硬币

H1: 手中的硬币做過手腳

如果手中硬币是常規硬币，我們知道正面和反面出現的概率各為50%，所以如果我投擲10次硬币，則正面和反面出現的次數各位5次。正面5次，反面5次，就是我們對于投擲10次硬币的期望值（expected value）。

現在我們開始投擲硬币，出現的是正面3次，反面7次。這個結果就是我們對于投擲10次硬币的觀測值（observed valued），即實際的結果。

通過分析期望值和觀測值的差距，我們就可以判斷出硬币是否正常。而這個期望值和觀測值差距的判斷方法就是chi-square。

Figure 1 chi-square計算公式

上圖即為chi-square的計算公式，O代表觀測值（observed value），E代表期望值（expected value）。有沒有覺得這和方差的公式很像？沒錯，其實方差是一組數據與其均值的比較，而chi-suaqre是一組數據與另一組數據期望值的比較。

那麼在擲硬币這個例子中chi-square（卡方）=(3-5)^2/5 (7-5)^2/5=1.6

Figure 2 擲硬币實驗：觀測值與期望值對比表

算出了chi-square，那麼又怎判斷檢驗結果呢？現在，跟我一起把卡方分布表(見Figure 2)拿出來~

Figure 3 卡方分布表

上圖即為卡方分布表，左上角的α表示錯誤拒絕H0假設的概率（即虛無假設事實上成立，但我們計算出的結果卻錯誤判斷虛無假設不成立的概率）。n代表自由度（degree of freedom），即獨立變量數減1，在這個例子中，獨立變量數為2（正面和反面），所以自由度為1（2-1=1）。

當然，你也會見到與上圖不一樣的卡方分布圖，比如Figure 3。P代表α，即P(當H0為真時拒絕H0)（其實就是p-value），df代表自由度（degree of freedom）。

Figure 4 卡方分布表

假設置信度為95%，即錯誤拒絕H0的概率為0.05。展開解釋就是，我們有95%的概率确信檢驗結果正确，有5%的概率會錯誤拒絕虛無假設。（我們總說的p值與0.05比較就是這個啦，其實不一定是0.05，根據具體情況可以設置不一樣的值，隻是大部分時候都用0.05）

對照着卡方分布表（Figure 4），找到1所在的行（我們計算出的chi-square自由度是1），發現1.6是介于1.323和2.706之間，查表得出其p值為0.25到0.1之間，大于0.05，所以我們不能拒絕H0。換句話說，H0成立，即硬币是常規硬币，沒有做手腳。

Figure 5 卡方分布表（chi-square=1.6）

大家通過觀察卡方分布表能夠發現，在用一個自由度下，chi-square越大，其p值就越小。舉個極端的例子，如果在擲硬币的例子中，我投擲10次硬币，剛好5次正面，5次反面，則此時算是的chi-square為0（觀測值與期望值一緻），這時的p-value是遠大于0.095，沒有理由拒絕H0,H0假設成立，即硬币是常規硬币。

Figure 6 卡方分布表（chi-square=0）

總結一下，

p-value的作用：p-value就是用來判斷H0假設是否成立的依據。因為期望值是基于H0假設得出的，如果觀測值與期望值越一緻，則說明檢驗現象與零假設越接近，則越沒有理由拒絕零假設。如果觀測值與期望值越偏離，說明零假設越站不住腳，則越有理由拒絕零假設，從而推出對立假設的成立。

p-value的計算：計算chi-suqare，計算自由度，查卡方分布表。

總的思路是，

做出H0,H1這對互斥的假設，計算出H0為真時的期望值，統計出實際的觀測值，通過期望值和觀測值求得chi-square（卡方），再通過卡方查表，得到p值。根據p值與α（1-置信度）的比較，如果p-value<α，則拒絕（reject）H0，推出H1成立；如果p-value>α，則接受（accpet）H0，推出H1不成立。

最後再劃重點，把開頭的幾個問題再解釋下。

【這個p-value到底是個什麼鬼？】p值可通過計算chi-square後查詢卡方分布表得出，用于判斷H0假設是否成立的依據。

【為什麼小于0.05就很重要？】大部分時候，我們假設錯誤拒絕H0的概率為0.05，所以如果p值小于0.05，說明錯誤拒絕H0的概率很低，則我們有理由相信H0本身就是錯誤的，而非檢驗錯誤導緻。大部分時候p-value用于檢驗獨立變量與輸入變量的關系，H0假設通常為假設兩者沒有關系，所以若p值小于0.05，則可以推翻H0（兩者沒有關系），推出H1（兩者有關系）。

【很重要是什麼意思？】當p值小于0.05時，我們就說這個獨立變量重要（significant），因為這個獨立變量與輸出結果有關系。

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