寫在前面：

《小王子》的作者安托萬·德·聖埃克蘇佩裡說：如果你要造船，不要招攬人來搬木材，不要給人指派任務和工作，而是要教他們去渴望那廣袤的大海。

數學學習也是如此，我們要給予孩子的不是數學知識，而是對數學的好奇和學習靈感。分享三本讓我張大嘴巴嘴震驚、一個星期之内讀完的數學書，希望也能給你帶去啟發。

周一 | 思維

全文共4843字，閱讀時間13分鐘

現在處處都是電子秤了，不知道你是否見過用過這樣帶秤砣的秤。

（《媽媽教的數學》書裡的配圖-一杆秤）

物資緊缺的70年代，買東西都得排隊，且往往不知道排隊的源頭處在賣什麼，就排上了。等到跟前了發現可能不需要，不買虧得慌，買了回家可能沒啥用場。這個圖片裡的秤就是這麼排隊買回家的，一杆秤5元錢，占當時一個月工資38元錢的近1/8，在當時是一筆不小的開支呢。

後來它在媽媽的手裡不僅有用，還派上了大用場。它的存在引發了孩子對數字和對數學的好奇與探索，培養了孩子對重量的敏感性，讓孩子覺得學數學相當于玩遊戲。

媽媽極大地發揮了這個杆秤，什麼都稱，買來的菜、肉、鹽、糖、米、面……有一天媽媽稱了廚房以外的東西，這個舉動讓孩子覺得極其好玩，于是他稱變了家裡所有10斤以下的東西，包括家裡喝水的茶杯。

有一次在學校老師辦公室裡給老師幫忙，眼睛瞄見了桌子上的喝水茶杯，并下意識地走近掂了掂，脫口說1斤6兩。老師笑了，有點兒不相信；下午老師把他叫到辦公室讓他掂另一個杯子，他擱到手裡試了一下，說這個差不多9兩。老師找來秤一稱，還真是，這麼準的手感驚住了他的老師。

這個孩子叫做孫路弘，孫路弘老師在2016年寫了一本書叫做《媽媽教的數學》。書裡通過自己小學時候的日記來回憶小時候的一些數學生活片段，然後總結整理媽媽教的數學。說是數學生活片段，是因為日記幾乎都是關于數字的。

（書裡一張日記圖）

有一天，媽媽看到孫路弘稱書包，就拿來一個瓶子，連瓶帶水稱了一下一共1斤6兩。然後，把水倒掉，再稱，瓶子重8兩，媽媽問剛剛瓶子裡的水有多重。借助這個實際的例子，孫路弘知道了十進制，知道了小數點，知道了1斤6兩=1.6斤，算出來了水是8兩=0.8斤。

孫路弘在學校總背不會乘法口訣，媽媽用手指頭教了他2*9……9*9的手指算法：伸出十根手指頭，從左到右，彎下第2根，左邊有手指1根右邊有8根，那麼2*9=18；彎下第3根，左邊有手指2根右邊有7根，那麼3*9=27……彎下第9根，左邊有手指8根右邊有1根，那麼9*9=81。

（書裡關于9的手指圖示）

可能正在閱讀的你立馬去比劃手指了，我也是。邊閱讀，邊比劃，邊比劃邊驚詫。

書裡的數學例子太精彩了，愛不釋手，繼續讀。

手指頭上的乘法口訣媽媽隻教了數字9的，媽媽說9最難，其他的讓孫路弘自己想辦法。這個孩子連吃飯都在掰扯手指頭，後來花了一個星期的時間終于研究出來了（這裡不告訴讀文章的你，要麼你也花上一段時間研究研究，要麼就買來書讀一讀）。

讀者們讀完《媽媽教的數學》不過瘾，孫路弘老師便在第二年也就是2017年又出了第二本《爸爸教的數學》。他說媽媽打開了他對數學世界的好奇，爸爸教的數學則是順着他的好奇，讓他去鑽研規律，然後用更加直觀的方法發現和驗證數學原理，創造自己對數學理解的模式。

爸爸允許孫路弘放棄一家人一起外出的時間，留孫路弘自己在家搗鼓一雙軍綠色新球鞋的鞋帶。一個下午3個小時的時間孫路弘搗鼓了20種不同的穿法，有對稱的有不對稱的，在穿來穿去的過程中發現并琢磨鞋帶的不同編織方式，以及不同編織方式的長度、松緊規律、結實感等。

（《爸爸教的數學》書裡的鞋帶編織圖組合）

孫路弘老師說：

兒童大腦的發展過程有四個階段：

第一階段：接受運動性信息，并模仿；

第二階段：接受規律性信息，并自我解釋；

第三階段：接受結構性信息（就是課本上的知識），并嘗試使用；

第四階段：加工一切信息，并形成見解。

孫路弘的媽媽帶他體驗了第一階段，讓他接觸生活裡各種鮮活實際的數字，對數字引發好奇與探索，并進行遷移效仿：

數學老師在課堂上出題：

一個瓶子中有水，連瓶帶水共重8斤，倒出了一半的水後稱了一下，重4.5斤，那麼瓶子是多重？

孫路弘沒舉手秒答：

倒出了一半的水後重4.5斤，8-4.5=3.5，這3.5斤就是倒掉的那一半水，所以原來的水總共有7斤，連瓶帶水共重8斤，那麼瓶子當然就是1斤了。

結果被老師留堂，問是不是在哪先學了，實際上就是剛剛上文提到的媽媽在家教他稱瓶子時學會的。

孫路弘的爸爸帶他走進第二階段，像研究鞋帶一樣，通過探究和思考，将“具體”升級為“抽象”，形成自己對“規律”的認識。

有一次孫路弘把家裡鑰匙弄丢了，在猜測的地方來回翻了很多遍都沒有找到。爸爸下班之後，問完了情況，就讓孫路弘列出鑰匙可能在哪兒及相應的概率。從圖裡看，鑰匙在書包裡的可能性最大，爸爸讓孫路弘寫下來盯着思考一下。

（《爸爸教的數學》書裡第一次找鑰匙的可能性圖）

第一次先去最大可能性的地方去找，沒找到。那麼第二遍再去找，能找到的可能性是70%*40%=28%。這個時候書包、衣服兜、抽屜三個地方的可能性總和還是100%，那麼就需要把28、20、10同比放大到28 20 10=58。那麼書包裡有鑰匙的可能性變成了28/58=48.28%，衣服兜裡有鑰匙的可能性變成了20/58=34.48%，抽屜裡有鑰匙的可能性變成了17.24%。還是書包裡的可能性更大，第二遍還得去書包裡找。

（《爸爸教的數學》書裡第二次找鑰匙的可能性圖）

用爸爸的方法，結果真的在書包裡找到了。

前幾天我找駕照，也是三個地方：抽屜裡、背包裡、車裡，可能性比例也是70%、20%、10%，因為好久沒開過車有印象把本本從車裡拿走了。但是我在這三個地方反反複複找了三個來回之後，最終在抽屜裡找到了。如果我有書裡的思維，可着勁兒在抽屜找，就不用浪費時間來回翻騰了，還平添了很多焦慮，找的過程當中我還打電話咨詢如何補辦。

看，在探索和思考的過程中，事情的規律和邏輯就是這麼被挖掘出來了。與此同時，還能指導日常生活裡遇到的問題。

後來孫路弘老師（上邊沒有加上“老師”的部分，是小時候的故事稱呼）上了北京師範大學的數學系，再後來還從事了營銷工作、顧問工作等，都用學到的數學知識來輸出第四階段的見解。

美國有個數學家，吐槽中小學數學教育不行，然後自己從大學辭職真的去教中小學數學。這個數學家叫洛克哈特，他說學數學應該像學藝術一樣，應該像英國數學家哈代說得那樣，數學要創造模式，而不單單是背原理然後做題應用。

數學家洛克哈特對數學的理解和孫路弘老師對數學的學習是相互印證的，“公式”基本都是好奇-探索-找到規律-創造模式。

洛克哈特說學數學要在好奇心的基礎上有遊戲心态，才能順利收獲到數學的愉悅。他在《一個數學家的歎息》裡，舉出來相當多好玩的數學題目。

其中有一道題目是這樣的：以一個長方形的一邊為底，以對面邊上的任意一點為頂點的三角形的面積，是長方形面積的多少？

我第一反應是三角形面積和長方形面積公式，一個是底乘高除以2，一個是長乘寬，那自然是三角形是長方形面積的一半。可是洛克哈特卻用一條輔助線，然後非常直觀地看到兩對面積相等的三角形。那麼選擇相鄰的組成大三角形，大三角形的面積自然是長方形面積的一半。

（書籍《一個數學家的歎息》中關于三角形買面積問題的圖示組合）

還有一個例子，連續奇數相加的和是一個平方數，洛克哈特用一堆石頭就觀察驗證出來了。看下邊圖的每一個L形就是解釋平方數的直觀圖形。這個求證過程是在當成遊戲中收獲到的，省去了複雜的推算演繹。最下邊一張可視化的圖看得清清楚楚，奇數相加是一個正方形，正方形就是一個平方數。

（書籍《一個數學家的歎息》中關于及奇數之和問題的圖示組合）

當我瞪大眼睛、饒有興趣地閱讀這三本書裡的數學案例時，我也在思考：數學是一門什麼樣的課呢？

數學家洛克哈特說：

就像繪畫、音樂和詩歌一樣，數學是一門藝術（差别僅僅在于，我們的文化不認同數學是一門藝術），我們的靈感需要被激發；

數學又與遊戲一樣，要基于好奇心去探索。

數學上的技巧，就如同藝術裡的技巧，應該配合背景而為。偉大的問題、偉大的曆史和創意的過程才是偉大的背景。

數學是一個緩慢、沉思的過程，就像産生一個藝術作品需要時間一樣。

數學家洛克哈特還說：

數學和任何文學作品一樣，都是人類為自己娛樂所創造出來的。

數學不是一種語言，而是一種探索。

數學需要讓學生有機會參與--提出自己的問題、自己的猜測與發現、試錯、經曆創造中的挫折、産生靈感、拼湊整理出他們的解釋和證明。

孫路弘老師說：

數學是遊戲、是挑戰、是好奇；

他對數學的興趣來源于長時間的想、長時間有人一起讨論。

數學需要步驟和拆解，就像找鑰匙那樣，通過思考與分步，做到

書寫-階段性輸入-再次評估-調整決策-付諸行動：

第一步，把想的事情寫下來；

第二步，哪怕想的是一件小事，也寫下來，然後繼續。

第三步，每完成一個步驟，都重新看一下最初的想法。

孫路弘老師還說：

數學思維的醞釀過程有三個核心特點：慢、要用圖形、持續想。

對數學要這麼鑽研：

第一，遇到題目要畫圖；

第二，解開後回顧當初卡住的地方，總結心得；

第三，變化題目，演變形式，再玩一次。

對孩子來說數學最大的障礙，是不理解題目中某個語言的意思；數學差就差在對抽象詞彙的不理解上。

那麼我們要怎麼幫助孩子學習數學呢？我悟出來這樣幾點啟發：

首先，面對孩子學數學，我們不要着急。

數學學習需要思考，思考需要時間過程，我們給到孩子足夠的時間讓孩子去探索，我們要等孩子慢慢開竅，允許他們在過程中認知數學。

其次，我們要讓數學連接孩子的生活。

數學像藝術一樣需要激發，那麼就讓孩子在熟悉的生活裡找靈感。我家孩子讀幼兒園的時候，我們一起玩過拿筷子夾、數花生的遊戲。既鍛煉手指靈活性，又認識數量。夾不住、偷偷吃掉……都刺激了他的遊戲沖動和對數學的興趣。

然後，我們要積累數學家的故事講給孩子聽。

既然學數學需要曆史大背景，同時孩子需要知道規律定理的形成過程， 那麼我們就積攢一些數學家的故事，講給孩子聽，讓他們知道數學知識的形成過程。讓他們同樣學會質疑，明白任何學科都是過程性學科。

再有，我們要幫助孩子去理解數學當中抽象詞彙的意思。

比如，“兩個數相加”、“兩個數的和”、“任意數的和”這三個表述就一個比一個抽象，孩子如果不理解就不會做題。像“擴展、相差、同向、相向、相遇……”等高頻率出現的詞彙，我們要問一問孩子是否明白他們的意思。先讀懂題意，才能更好地學習數學。

小結一下，不管是數學家洛克哈特，還是孫路弘老師，他們都認同數學要在過程中和探索中挖掘問題的本源，數學同其他學科一樣需要發現、說明和分析。那我們用PBL的通識式思維去認知數學就沒錯兒。在數學的世界裡，我們也需要像玩遊戲一樣，觀察數學數字，做出猜測，尋找證據規律，從過程中理解和認知數學，創造自己的數學思維模式。

更多開腦洞的數學案例和數學題目，就請你親自從書中獲取吧~期待你有更多學習數學的啟發。

童行書院的課程設計均以PBL（項目制學習）為主要方式，涵蓋科學、人文、藝術、社會4大領域，旨在激發孩子的内驅力，培養孩子的批判性思維、成長性思維、社會性思維與創造性思維。

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