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梯度和方向導數的聯系

圖文 更新时间:2024-10-05 16:16:40

我們在一元微積分中對如下的微分算子都很熟悉:和,差,積,商的微分公式

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)1

我們現在重新引入此符号的原因是我們不僅要接受與變量X有關的導數,還需要其它更多變量的導數,所以需要一些明确的符号來區分哪個變量

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)2

現在假設我們有一個同時依賴于X和Y的函數,我們将其稱為f(x,y),這最終将稱為曲面而不是曲線

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)3

那麼這個曲面的變化率是多少,我們要做的就是找到它的變化率,如果想要找到X的變化率,我們僅将Y作為常數,以此區分作為變量的X,我們使用彎曲的D代替常規的D,這稱之為偏導數

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)4

同樣,如果我們想要Y方向的變換量,這将是關于y的偏導數,在這種情況下,我們會将X視作常數

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)5

如下是一個示例:關于X和Y的偏導數

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)6

現在,我們将介紹一個結合了這些偏導數,即所謂的梯度,函數的梯度隻是一個向量,它有所有的偏導數組成

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)7

我們可以寫成gradf

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)8

如果在三個維度上,梯度就是

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)9

這個向量它指向函數最大變化的方向,并等于最大變化率的幅度

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)10

這個有關向量的偏導數,即梯度用倒置的三角形表示,稱為del

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)11

梯度和方向導數的聯系(偏導數和函數的梯度)12

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