梯度和方向導數的聯系-tft每日頭條

梯度和方向導數的聯系

圖文更新时间:2025-01-18 16:59:56

我們在一元微積分中對如下的微分算子都很熟悉：和，差，積，商的微分公式

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）1

我們現在重新引入此符号的原因是我們不僅要接受與變量X有關的導數，還需要其它更多變量的導數，所以需要一些明确的符号來區分哪個變量

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）2

現在假設我們有一個同時依賴于X和Y的函數，我們将其稱為f(x,y)，這最終将稱為曲面而不是曲線

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）3

那麼這個曲面的變化率是多少，我們要做的就是找到它的變化率，如果想要找到X的變化率，我們僅将Y作為常數，以此區分作為變量的X，我們使用彎曲的D代替常規的D，這稱之為偏導數

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）4

同樣，如果我們想要Y方向的變換量，這将是關于y的偏導數，在這種情況下，我們會将X視作常數

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）5

如下是一個示例：關于X和Y的偏導數

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）6

現在，我們将介紹一個結合了這些偏導數，即所謂的梯度，函數的梯度隻是一個向量，它有所有的偏導數組成

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）7

我們可以寫成gradf

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）8

如果在三個維度上，梯度就是

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）9

這個向量它指向函數最大變化的方向，并等于最大變化率的幅度

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）10

這個有關向量的偏導數，即梯度用倒置的三角形表示，稱為del

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）11

梯度和方向導數的聯系（偏導數和函數的梯度）12

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