不等式是方程問題的延展,也可看做函數的進一步應用,不等式,方程,函數三位一體,掌握它你會發現世界真奇妙,什麼問題都可以聯想到她,一些知識的深層次應用就是這麽聯想出來的。不信,你嘗試嘗試。
1、不等式與不等關系:
由此延伸出實數大小的比較:
依據:
作差法和作商法是我們比較兩個實數大小常用的方法,也稱之為:比較法;
使用步驟如下:
作差法:作差→變形→判斷差的符号→結論
作商法:作商→變形→判斷商與1的大小→結論
關鍵點說明:
1、作差法關鍵是“變形”,向以下方面轉化:
因式分解→配成完全平方式→湊成恒正或恒負的代數式
2、作商法關鍵是“商與1的大小”:
若A/B>1,且B>0,則A>B; 若A/B>1,且B>0,則A>B;
不等式的性質是我們整理換算的依據,附以四則運算的優先法則,數學計算有保障;
不等式的解法關于不等式的解法,這裡要對不等式進行分類:一元一次不等式,一元二次不等式,一元高次不等式,分式不等式,含絕對值不等式,根式不等式(無理不等式);在求解過程中,我們依據不等式特征,有選擇性的挑選解題方法,輔以恰當的解題技巧事半功倍。
★ 一元一次不等式的解法:
@定義
@解題步驟
@思想方法
@一元一次不等式解的表示
@一元一次不等式組解的表示
★ 一元二次不等式的解法:
要解一元二次不等式需要搞清楚三個二次之間的關系,一元二次方程,一元二次不等式,二次函數,請看下面列表:
通過3個二次之間的關系,我們求解一元二次不等式可以彙編為三個字:解-畫-寫;
解——解不等式對應的方程的根;
畫——畫不等式對應的函數的圖像;
寫——通過圖像結合不等式要求,寫出不等式的解集;
當然解不等式方程的時候,要連接一元二次方程根與系數關系也即:韋達定理。
★ 一元高次不等式的解法:
一元高次不等式的解法——穿針引線法(一種叫法)
步驟:化正——求根變形——标軸,穿線(奇過偶不過)——定解(寫解集)
穿針引線法(序軸标根法)(高次不等式:數軸穿根法: 奇穿,偶不穿)解題方法:數軸标根法。
解題步驟: (1)首項系數化為“正”
(2)移項通分,不等号右側化為“0”
(3)因式分解,化為幾個一次因式積的形式
(4)數軸标根。
例:求解不等式
解法:
①将不等式化為
形式,并将各因式中的x系數化“ ”(為了統一方便)
②求根,并将根按從小到大的在數軸上從左到右的表示出來;
③由右上方穿線,經過數軸上表示各根的點。(即從右向左、從上往下:看的次數:偶次根穿而不過,奇次根一穿而過)。注意:奇穿偶不穿。
④若不等式(x前系數系數化“ ”後)是“>0”,則找“線”在x軸上方的區間;若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區間:
注意:“≤或≥”标根時,分子實心,分母空心。
★ 分式不等式的解法:
@分式不等式的形式
@解題步驟
【範例】
所以不等式的解集為:(﹣∞,﹣2)∪[﹣1,2)∪[6, ∞)。
★ 含絕對值不等式的解法:
@絕對值的幾何含義
@最簡單的絕對值不等式
@絕對值不等式的解法
【範例】
@絕對值三角不等式
關于不等式的解法,以上是分類别,最後歸為一句話:
核心是同解變形,方法是分式化整式,高次化一次,無理化有理
不等式的證明不等式的證明是不等式章節中重要環節,這裡方法多式多樣,主要歸結為:比較法、判别式法、綜合法、分析法、反正法、放縮法等
@比較法:
1、求差法
★ 欲證A>B,隻需證A-B>0即可;
步驟:作差——變形——判斷符号
變形:變為因式的積或者平方和的形式。
2、求商法
★ 欲證A>B(B>0),隻需證A/B>1即可;
步驟:作商——變形——判斷商與1的大小
适用範圍:适用于式子兩端為乘積或幂、指數的形式。
3、求平方差法
顧名思義,大家參考前面的作差與作商法來進行展開。
@綜合法:
從已知出發,借助不等式的性質和有關定理,經過逐步的邏輯推理,最後推出要證的不等式。
@分析法——放縮法:
從需證的不等式出發,尋找這個不等式成立的充分條件,逐步轉化到已知條件或者明顯的事實。
@反證法:
從需證的不等式的反面出發,依據題幹已知條件,通過轉化,最終找到與已知條件矛盾或者對立的事實,進而推出假設不成立,原命題得證。
以上式關于不等式的證明的一些見解,證明不等式常用基本不等式以及常用的放縮技巧且聽其他專題講解。
不等式學法誤區關于不等式的學習過程中容易産生的錯誤提醒如下:
第一、不等式的性質具有可逆性,常常把握不準;
第二、同解變形中,出現增根,減根的情況導緻錯誤;
第三、解含有參數問題的時候,分類讨論标準不準确,有遺漏;
以上就是大黃對不等式的概念、性質以及解法,知識框架、學法指導、誤區的講解,全在這兒,以飨讀者。
同時歡迎大家評論區發表自己的見解,一切都是為了孩子的學習。
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