兩角和與差的三角函數題-tft每日頭條

兩角和與差的三角函數題

生活更新时间:2024-08-14 12:33:48

本講的标題略長，但一時又沒想到更合适的，隻能将就了。本來還更長的，叫“斜率互為相反數的共點弦中的斜率定值問題研究”，如果不解釋，你根本不知道我在說啥。

其實我也不知道自己在說啥。

标題不重要，重要的是你知道我在說啥。

如果你也不知道，還有什麼好說的？想必隻有過年了。一邊過着年，一邊看着我寫的筆記，那滋味，想想都覺得酸爽。

不說了，先來酸爽一把吧。

兩角和與差的三角函數題（第二百七十二夜）1

兩角和與差的三角函數題（第二百七十二夜）2

本題是一道組合題，遞進式關系。先求直線AB的斜率，再求弦長AB的範圍，第一步是關鍵。事實上，本題完全可以去掉第二步，隻留第一步單獨命題。

法1，設線。點T的坐标一定，所以設直線TA的方程與橢圓聯立，那麼韋達定理可以輕松求得A點的坐标。由于TB與TA的斜率互為相反數，于是将斜率換為相反數即可求得B點的坐标。這是圓錐曲線中簡化運算的基本操作。

兩角和與差的三角函數題（第二百七十二夜）3

法2，設線。A、B兩點均值橢圓上，所以設直線AB的方程，自然而然。法2似乎比法1在過程上更簡單，這完全是一個美麗的誤解。看來你還是不了解我。我有一個習慣，會把最基本、最常用的通法放在法1。坦率說，法1，大多數人都能計算出結果，而法2則不然。原因在于最後的結果無法化簡，對這個複雜的方程無能為力。事實上，這算不得什麼，無非就是因式分解而已。

對本題而言，法1與法2均為常規的打開方式，掌握一種或者兩種都行。而下面的法3至法5純屬玩味，不感興趣的可以直接略過。

兩角和與差的三角函數題（第二百七十二夜）4

為什麼直線AB的斜率會與橢圓在點T處切線的斜率互為相反數呢？這是莫名的巧合，還是曆史的必然？

讓我們從下圖說起。

過點T作x軸的垂線交橢圓于另一點P，當A、B兩點無限靠近P點時，直線AB無限接近P點的切線。由橢圓的對稱性知，P點的切線與T點的切線關于x軸對稱，因此兩切線的斜率互為相反數。這便是法4和法5的解題依據。

兩角和與差的三角函數題（第二百七十二夜）5

兩角和與差的三角函數題（第二百七十二夜）6

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