高三數學怎樣上90?考點一 集合的概念與運算知識梳理，今天小編就來說說關于高三數學怎樣上90?下面更多詳細答案一起來看看吧!

高三數學怎樣上90

考點一 集合的概念與運算

知識梳理

1．集合與元素

(1)集合元素的三個特征：确定性、互異性、無序性．

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于關系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖法．

(4)常見數集的記法

集合

自然數集

正整數集

整數集

有理數集

實數集

符号

N

N＋(或N*)

Z

Q

R

(5)集合的分類

若按元素的個數分類，可分為有限集、無限集、空集；若按元素的屬性分類，可分為點集、數集等．特别注意空集是一個特殊而又重要的集合，如果一個集合不包含任何元素，這個集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，規定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解題時切勿忽視空集的情形．

2.集合間的基本關系

關系

自然語言

符号語言

Venn圖

子集

集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)

A⊆B

(或B⊇A)

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中

AB

(或BA)

集合相等

集合A，B中元素完全相同或集合A，B互為子集

A＝B

子集與真子集的區别與一個集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

3.全集與補集

(1)如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為 全集 ，全集通常用字母 U 表示；

(2) 對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

4.集合的運算

集合的并集

集合的交集

集合的補集

圖形

符号

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

5.集合關系與運算的常用結論

(1)子集個數公式：若有限集A中有n個元素，則A的子集個數為2n個，非空子集個數為2n－1個，真子集有2n－1個．

(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．

(3)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．

典例剖析

題型一 集合的基本概念

例1　已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數是

答案 5

解析 列表

根據集合中元素的互異性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5個．

變式訓練 已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則集合B中有________個元素．

答案 6

解析　因為x－y∈A，∴x≥y．

當x＝0時，y＝0；

當x＝1時，y＝0或y＝1；

當x＝2時，y＝0，1，2.

故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，

即集合B中有6個元素．

解題要點 研究集合問題，通常從代表元素入手，考查其所代表的是數還是點，如果代表元素是數x，則是數集，如果代表元素是數對(x，y)，則是點集．在列舉集合的元素時可借助表格，或根據元素特征分類列舉，列舉時應做到不重不漏．

例2　設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________.

答案 2

解析　因為{1，a＋b，a}＝，且由a在分母的位置可知a≠0，

所以a＋b＝0，則＝－1，

所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

變式訓練 已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．

答案 －

解析 因為3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

當m＋2＝3，即m＝1時，2m2＋m＝3，

此時集合A中有重複元素3，所以m＝1不符合題意，舍去；

當2m2＋m＝3時，解得m＝－或m＝1(舍去)，

此時當m＝－時，m＋2＝≠3符合題意，

所以m＝－.

解題要點 對于含字母參數的集合，應準确進行分類讨論，列出方程或方程組求出字母參數的值．需要特别注意的是，求出字母參數值後，還要檢驗是否違反了集合中元素的互異性．

題型二 集合間的基本關系

例3　集合A={－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有 個

答案 4

解析 根據題意，在集合A的子集中，

含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四個.

變式訓練 設M為非空的數集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一個奇數元素，則這樣的集合M共有 個

答案 6

解析　集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(個)，其中一個奇數元素也沒有的集合有兩個：∅和{2}，故滿足要求的集合M共有8－2＝6(個)．

解題要點 解題關鍵是弄清符合題意的集合其元素應滿足的條件．在元素較少時可以采取窮舉法列出所有滿足條件的集合．

例4　設，若，則a的取值範圍是 ．

答案

解析 根據題意作圖：

由圖可知，，則隻要即可，即的取值範圍是．

變式訓練 已知集合，則a的取值範圍是 ．

答案

解析 ，∵，根據題意作圖：

由圖可知，隻要即可，即的取值範圍.

解題要點 對于這類用不等式表示的數集之間的包含關系時，常常借助數軸進行求解.在解題時應注意端點是否可以取到.

題型三 集合的基本運算

例5　已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，則集合A∪B中元素的個數為________．

答案 5

解析 A∪B＝{1,2,3,4,5}，共有5個元素.

變式訓練 已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B為整數集，則A∩B等于________．

答案 {－1,0,1,2}

解析 A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，B為整數集，A∩B＝{－1,0,1,2}.

解題要點 求解集合交、并首先應對各個集合進行化簡，準确弄懂集合中的元素，求并集時相同的元素隻算一個．

例6　已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合∁U(A∪B) ＝________．

答案 {x|0<x<1}

解析 ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，

在數軸上表示如圖．

∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．

變式訓練 已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，則A∪B＝________．

答案 R

解析　∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.

∴集合A與B可用數軸表示為：

由圖象可以看出A∪B＝R．

解題要點 集合的基本運算是曆年高考的熱點，常與不等式的解集、函數的定義域、值域相結合命題，解題時先求出各個集合，然後借助數軸求交并是基本方法．

當堂練習

1. 已知集合,集合,,則________．

答案 {4}

解析　因為A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以U(A∪B)＝{4}．

2．若集合M={－1，0，1}，N={0，1，2}，則M∩N等于________．

答案 {0，1}

解析 由集合M={－1，0，1}，N={0，1，2}，得到M∩N={0，1}．

3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四邊形}，則之間的關系為_______

答案

4．已知集合A＝{(x，y)|－1≤x≤1，0≤y<2，x、y∈Z}，用列舉法可以表示集合A為________．

答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}

解析 集合A表示不等式組确定的平面區域上的格點集合，所以用列舉法表示集合A為{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．

5．設集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，則M∩N＝ ．

答案　{1，2}

解析　由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，

解得1≤x≤2，故N＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1,2}．

課後作業

1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，則A∩B等于________．

答案　(2,3)

解析　∵A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}＝{x|1＜x＜3}，

∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3)．

2．設集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則M∪N＝________．

答案　{－2,0,2}

解析　先确定兩個集合的元素，再進行并集運算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，

故M∪N＝{－2,0,2}．

3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>4}，則M∪N等于________．

答案　{x|x<－5或x>－3}

解析　在數軸上表示集合M和N，如圖所示，

則數軸上方所有“線”下面的部分就是M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．

4．若集合A={x∈R|ax2 ax 1=0}中隻有一個元素,則a=________．

答案　4

解析　a＝0時，ax2 ax 1=0無解，此時，A=，不合題意；

a≠0時，由題意得方程ax2＋ax＋1＝0有兩個相等實根，則，解得a＝4.

5．已知全集，集合，，則= ________．

答案　{0,2,4}

解析　∵＝{0,4}，＝{0, 2,4}.

6．已知集合,,則________．

答案　{1,4}

解析　∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16.

∴B＝{1,4,9,16}．∴A∩B＝{1,4}．

7．滿足條件{0,2}∪M＝{0,1,2}的所有集合M的個數為________．

答案　4

解析　由題可知集合M中必有1，滿足條件的M可以為{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4個．

8．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝________．

答案　0或3

解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A，∵A＝{1,3，}，B＝{1，m}，

∴m∈A，故m＝或m＝3，解得m＝0或m＝3或m＝1，又根據集合元素的互異性m≠1，所以m＝0或m＝3.

9．設全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，則A∩(∁UB)等于________．

答案　{1}

解析　∵∁UB＝{1,5,6}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}.

10．已知A＝{3,5,6,8}且集合B滿足A∩B＝{5,8}，A∪B＝{2,3,4,5,6,7,8}，則這樣的集合B有________個．

答案　4

解析　∵A∩B＝{5,8}，∴5,8∈B，又∵A∪B＝{2,3,4,5,6,7,8}而A＝{3,5,6,8}，

∴2,4,7∈B，∴3,6可以屬于B，也可不屬于B． ∴這樣的B有22＝4(個)．

11．若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，則A∩B等于 ．

答案　{x|－3<x<2}

解析　由題意，得A∩B＝{x|－5<x<2}∩{x|－3<x<3}＝{x|－3<x<2}．

12．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數為

答案　2

解析　A＝{…，5,8,11,14,17…}，B＝{6,8,10,12,14}，集合A∩B中有兩個元素．

13． 已知A＝{x|2a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R， 則a的取值範圍是________．

答案　－3≤a<－

解析　∵B＝{x|x<－1或x>5}，A∪B＝R， ∴ 解得－3≤a<－.

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!