關于中點的聯想

【閱讀與思考】

1.線段的中點把線段分成相等的兩部分，圖形中出現中點，可以引起我們豐富的聯想:首先它和三角形的中線緊密聯系；若中點是在直角三角形的斜邊上，又可以引用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”結論；其次，中點又與中位線息息相關；另外，中點還可以與中心對稱相連.

2.解答中點問題的關鍵是恰當地添加輔助線，如作中線倍長、作直角三角形的斜邊上的中線、構造三角形、梯形中位線、構造中心對稱圖形等，如圖所示:

【例題與求解】

【解析】延長BP交AC于點E，首先證明△APB≌△APE，可得AB=AE=14，PE=PB，進而得到EC=12，再根據三角形中位線定理可以計算出PM=1/2EC=6.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及三角形中位線定理.

方法一：

方法二：

【解析】因為題目沒有确定正方形EFGH的位置，所以我們可以将正方形EFGH的位置特殊化，使點H與點A重合，重新作出圖形，這樣有利于我們解題，過點M作MO⊥ED于O，則可得出OM是梯形FEDC的中位線，從而可求出ON、OM，然後在RT△MON中利用勾股定理可求出MN.

【點評】本題考查了梯形的中位線定理、正方形的性質及勾股定理的知識，屬于綜合性題目，對待這樣既有動态因素又不确定位置的題目，一定要将位置特殊化，這樣不影響結果且解題過程簡單，同學們要學會在以後的解題中利用這種思想.

【解析】取AC的中點F，連接BF，根據中點的性質可得到AE=AF，再根據SAS判定△ABF≌△ACE，由全等三角形的對應邊相等可得到BF=CE，再利用三角形中位線定理得到DC=2BF，即證得了DC=2CE.

【點評】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形中位線定理的綜合運用.

【解析】(1)連接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，從而得到AD=BC，因為EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線，則可以得到EF=FG=GH=EH，根據四邊都相等的四邊形是菱形，可推出四邊形EFGH是菱形；

(2)成立，可以根據四邊都相等的四邊形是菱形判定；

(3)先将圖形補充完整，再通過角之間的關系得到∠EHG=90°，已證四邊形EFGH是菱形，則四邊形EFGH是正方形.

【點評】此題主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定等知識點的綜合運用及推理論證能力.

方法一：

方法二：

【點評】本題考查了線段垂直平分線的判斷，四點共圓的判斷與運用.關鍵是根據題意構造四點共圓的條件.本題具有一定的綜合性.

【A級能力訓練】

【解析】由AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分線推出即△ABG和△ACF都是等腰三角形.根據三角形中位線定理可得FG=2DE=6，即可解題.

【點評】此題涉及到的知識點較多，有全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形中位線定理的應用等，對于初二的學生來說，是一道難題.

【解析】連接MN，根據中位線定理，可得出MN=DE=5cm；圖中陰影部分的面積就是圖中三個三角形的面積，由圖可知，這三個三角形的底相等都是5cm，這三個三角形的高之和是從A點到BC的垂線段的長，利用勾股定理可求得高的值，據此可求出圖中陰影部分的面積.

【點評】本題主要考查了中位線定理、等腰三角形的性質等知識，綜合性較強.

【點評】本題考查了正方形的概念性質和判定，考查了中點四邊形，各圖形性質及之間的相互聯系，對角線之間的關系.

【解析】畫草圖分析，作輔助線，将求梯形的面積轉化為求等腰直角三角形的面積，利用中位線及等腰梯形的性質可求出結果.

【解析】取AB的中點G，連接EG,根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EG//AD，EG=1/2AD，GF//BC，GF=1/2BC，再根據過一點有且隻有一條直線與已知直線平行可得點G、E、F三點共線，然後求解即可.

【點評】本題考查了梯形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，作輔助線，熟記三角形中位線定理是解題的關鍵，要注意說明點G、E、F三點共線.

【解析】首先根據梯形中位線定理可求得梯形ABCD的中位線為:(18 32)/2=25，由題意可得梯形ABCD的中位線也是梯形EFHG的中位線，據此求解.

【點評】此題主要考查梯形中位線定理:梯形中位線等于上底和下底和的一半，根據已知得出梯形ABCD的中位線也是梯形EFHG的中位線，是解題的關鍵.

【點評】 此題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形的中位線定理，三角形的外角性質，以及平行線的判定與性質，熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

【解析】根據中位線定理證明MH=NH，進而證明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ為等腰三角形，即AP=AQ.

【點評】考查中位線定理在三角形中的應用，考查平行線對角相等，考查等腰三角形的判定.

【解析】(1)本題主要利用重合的性質來證明；(2)首先要連接MB、MD，然後證明△FBM≌△MDH，從而求出兩角相等，且有一角為90°；(3)根據(2)的證明過程中△FBM≌△MDH仍然成立即可證明.

【點評】本題綜合考查了等腰三角形的判定，偏難，學生要綜合運用學過的幾何知識來證明.

【B級能力訓練】

【點評】 本題考查了正方形的性質，三角形的中位線的性質，角平分線的定義，正确的作出輔助線是解題的關鍵.

【點評】 此題要能夠巧妙構造三角形的中位線，綜合運用三角形的中位線定理、平行線的性質以及等腰三角形的判定.

【解析】分别過點D、A、E作直線BC的垂線，交BC于F、G、H，得到AG是梯形DFHE的中位線，根據圖形的中位線定理、三角形的面積公式計算即可.

【點評】本題考查的是三角形的面積的計算、梯形中位線定理的應用，掌握三角形的面積公式是解題的關鍵.

【點評】本題考查了三角形的中位線定理，三角形的三邊關系，添加恰當輔助線構造中位線是本題的關鍵.

【點評】此題主要考查學生對三角形面積的計算，解答此題的關鍵是分别連接OB、OA、OD、OC，利用三角同底同高的性質求證幾個三角形面積相等，此題有一定難度，屬于難題.

【解析】取AP、BP的中點，并連接EM、DM、FN、DN，根據直角三角形斜邊中線性質易證得△DEM≌△FDN，即可得各角的關系即可證得結論.

【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質，涉及到直角三角形、等腰三角形的性質等知識點，是一道難度較大的綜合題型，正确作出輔助線是解題的關鍵.

【點評】 此題考查了勾股定理的逆定理、線段的垂直平分線、三角形全等的判定，作輔助線是關鍵.

【點評】此題比較複雜，(1)主要是利用線段垂直平分線的性質；在解(2)時要作出輔助線，構造出平行其性質求解四邊形及直角三角形的中線是解答此題的關鍵.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊上的中線、等腰直角三角形、三角形中位線定理、旋轉的性質，此題綜合性較強，适用于基礎較好的學生.

【解析】(1)①根據平行線的性質證得∠MBP=∠ECP再根據BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=1/2ME，而在Rt△MNE中，PN=1/2ME，即可得到PM=PN.

(2)證明方法與②相同.

(3)四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立.

【點評】本題考查旋轉的性質.旋轉變化前後，對應線段、對應角分别相等，圖形的大小、形狀都不改變.

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