素數的音樂：黎曼猜想

如果要求任何一位數學家提名數學中最重要的未解決問題，回答幾乎肯定是“黎曼猜想”。這個困擾了人們一百多年的難題，是問某個特定方程的所有解是否有一種特殊的形式。

因此，答案肯定是“是”或“否”這兩者之一。雖然這個問題隐藏在現代抽象數學那茂盛的森林中，它卻是起源于幾乎同數學一樣古老的問題——素數的分布模式。

素數的概念就不多做介紹了。根據歐幾裡得的證明，我們知道素數是無窮無盡的，下面是他的證明的現代形式。

假設存在一個最大的素數，稱為P。他把從2到P的所有素數相乘，

這樣；N=2*3*5*7*…*P

我們看到N 1明顯比P大，如果N 1不是素數它必然是素數的乘積。又因為N是P與之前所有素因子的乘積，所以N 1必然不能被任何素數整除，所以不存在最大的素數，即素數是無窮的。

黎曼猜想是什麼？

這是它的一般表達式：ζ（z）=1/1^z 1/2^z 1/3^z …

ζ函數讀作zeta函數，它為什麼跟素數有關呢？這還要從歐拉說起，看完它的來源也就明白了。

我們知道計算無窮和就是将每一項數相加直至無窮，而它們的結果也通常是難以計算的。但如果一個無窮級數有特别簡單的結構時，我們就能找出它的求和公式。

例如，無窮和

S=1 1/2 1/4 1/8 1/16 … 1/2^n，設X=1/2

代入上式得

S=1 X X^2 X^3 X^4 … X^n。我們容易發現當X大于零小于1時，這個幾何級數具有有限的和。

然後把級數每一項都乘以X，得到

XS=X X^2 X^3 X^4 …

兩式相減：我們得到

S-XS=1，簡單化簡S=1/1-X。簡單了解了無窮和，我們來看歐拉是如何發現ζ函數的。

了解了調合級數具有無窮大的和，歐拉思考“素數調和級數”，他想知道所有的素數的倒數相加是有限還是無窮的？

設所有素數倒數的和為H，所有正整數倒數的和為M，就有：

H=1 1/2 1/3 1/5 1/7 …

M=1 1/2 1/3 1/4 …

他将M式中每一項加上指數S（也在之後将此函數命名為ζ函數），然後得到

M=1 1/2^s 1/3^s 1/4^s …。他将M分解為兩部分，第一部分是所有素數項，第二部分是所有非素數項，就像下面這樣。

M=【1 1/2^s 1/3^s 1/5^s …】 【1/4^s 1/6^s 1/8^s…】

容易發現當s大于等于1時，前一部分的和是無窮大，根據前面的例子建立的幾何級數公式

1 x^2 x^3 …=1/1-x，其中X大于0小于1

所以當s大于1時我們設X=1/P^s，同前面一樣，M也就是ζ（s）就可以寫成：

ζ（s）=1 1/P^s 1/P^2s 1/P^3s …=1/1-1/P^s

他發現上式的無窮和可以寫成另一種表達式，将它改寫為無窮乘積：

ζ（s）=1/1-1/2^s*1/1-1/3^s*1/1-1/5^s*…

其中右邊的乘積是取所有形如1/1-1/P^s的項，其中P是素數。歐拉發現當他将這個無窮乘積寫成單一的無窮和時，式中的每一項都取如下形式：

1/P1^k1s…Pn^kns。

這裡P1到Pn是不同的素數，k1到kn是正整數，根據算術基本定理，每個正整數都能被表示成P1^k1…Pn^kn，所以這個無窮乘積恰好可以轉化為無窮和1 1/2^s 1/3^s 1/5^s …

歐拉将無窮乘積與素數聯系了起來，可作為實數到實數到函數，它沒有豐富的幾何結構來進一步研究素數的分布模式。基于這種考慮，黎曼邁出了關鍵性的一步。

他用複數z代替實數s，使ζ（z）函數的值也變成複數。

根據素數定理，我們知道當x取較大的數時，素數的密度Dn被1/lnn所逼近，黎曼發現了密度函數Dn與方程ζ（z）=0的解有密切的關系。

他對函數ζ（z）的零點（方程的解）作出了大膽的猜測。他首先注意到-2，-4，-6…都是零點。也就是說，當z是複偶數時，ζ（z）=0。又接着證明了除了這些實數外，ζ（z）還有無窮多個複數零點。

他猜測，所有這些其他的零點都可以表示成z=1/2 ib的形式，其中b為實數，就是說這些所有複數零點的實部都是1/2。

黎曼證明了如果ζ（z）的所有複數零點都有實部等于1/2，則密度函數Dn與對數函數1/lnn（它是指數函數e^n的反函數）。曲線的差異程度以一種系統的随機方式變化。這意味着雖然無法準确地預測下一個素數會出現在哪裡，但總的來說素數的分布模式還是非常有規律的。

黎曼猜想與萬維網

對黎曼假設的證明會讓來我們了解更多素數模式的信息，這些信息不僅對數學而言非常重要，對于現代生活的重要組成部分，即網絡安全也有極大的影響。

我們每次在銀行使用取款機或在互聯網上進行商業交易時，都是依靠素數的數學理論來确保交易安全。下面作一解釋。

如今的加密系統都是由兩部分組成：一個加密程序和一個“密鑰”。前者是一個計算機程序，後者通常是秘密選中的數字。加密程序對信息進行加密，使得加密的文檔隻有用密鑰才能解開。現已發展了好幾種加密方法，其中獲得最多支持的是RSA系統，它是由三個發明者名字的首字母命名。

RSA系統本質上使用的解密密鑰包含兩個很大的素數（每個100位）由用戶自己挑選。公開的加密密鑰就是這兩個素數的乘積。系統的安全性也依賴于這樣的事實：至今還沒有對大數快速進行因子分解的方法。當今最強大的計算機在幾天内能分解的最大數不過100位左右。所以用兩個100位素數的乘積，即一個200位的數作為密鑰是非常安全的。

由于黎曼猜想告訴了我們如此多關于素數的信息，對這一猜想的證明很可能使因子分解方法有一個巨大突破，而并不在假設它成立，我們需要的是證明過程中發現的有關素數的新理論方法，所以它的含金量也遠比一百萬美元的大獎要高。

黎曼猜想成立嗎？

通過計算機，數學家成功的證實了黎曼猜想對于ζ函數的前15億個零點都成立。生活中能提供這種數據足以讓許多人信服了，但數學不是這樣。因為數是無窮的，因此也有大量可能性使不符合黎曼準則的零點存在。或許這樣一個零點是存在的，隻是它實在是太大了！大到任何計算機都無法處理。

不過大多數數學家相信黎曼的猜想是正确的。

1972年美國數學家蒙哥馬利發現了一個公式，它描述了臨界線（x=1/2）上ζ函數零點之間的間距。而後一位法國數學家寫出了一組方程，這組方程規定了一個假設的量子系統，這個系統把所有素數都作為它的組成部分。

他還證明了這個系統有着對應于臨界線上所有零點的能級。如果能證明除了這個能級對應的零點外沒有其他零點，那他就證明了黎曼猜想。這也将是第一次用量子物理學的方法解決純數學問題。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!